分析(间接证明) | 玄数

2014-01-30

综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论;
而分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

综合法是从原因推导到结果的思维方法,综合法又叫做由因导果法;
分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,分析法又叫做执果索因法.

例:如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。求证:EF∥平面SAD(2007年全国卷II(理)—— 三、解答题:19 第一问)

2007年全国卷II(理)

分析:根据《直线、平面的位置关系》中的平行判定法则:平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。所以要在平面SAD内找到一条直线与EF是平行的。两条平行线跟另外两条平行线相交,必定构成一个平行四边形。而这另外两条平行线中的一条,假设就是AE,即要寻找另外一条直线是跟AE平行的。根据题目中的中点已知条件,那么尝试另外一条线段的两个端点都是中点。

证明:取SD的中点G,连接AG,GF
2007年全国卷II(理)
要证          EF ∥平面SAD

只需证     EF ∥AG

只需证     四边形AEFG为平行四边形

只需证     FG ∥= AE

∵         E、F、G分别是AB、SC、SD的中点

∴          FG ∥= CD/2, AE ∥= AB/2

又∴      ABCD为正方形

∴         AB ∥= CD

∴        FG ∥= AE

∴        EF ∥平面SAD

 
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法

用P表示已知条件、定理、定义、公理等,  Q表示所要证明的结论.

用分析法证明时:从要证的结论Q出发,反退回去寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的充分条件P1
为了证明P1成立,再去寻找P1成立的充分条件P2
为了保证P2成立,去寻找P2成立的充分条件P3
……
直到找到一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。

 (Q ⇐ P1) → (P1 ⇐ P2) → (P2 ⇐ P3) → … →  P

 

证明步骤一般可归结为:

要证Q
只需证P1
只需证P2
… …
∵     P(已知条件、定理、定义、公理等)成立
∴     Q 成立

分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,分析法又叫做执果索因法

分析(间接证明)

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