贝特兰概率悖论 | 玄数

2012-12-31

法国数学家贝特兰曾在1889年提出一个概率悖论:在圆内作任一弦,其长度超过圆内接正三边形边长a的概率是多少?这一著名悖论被称为贝特兰概率悖论Bertrand’s  paradox)。 

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论。一门学科出现悖论,表明该学科的基础还有不够严谨的地方,但同时也能促使该学科从不够严谨往严谨的方向发展。
下面来看看贝特兰概率悖论中有什么矛盾之处。

(1) P = 1/2

贝特兰概率悖论
在⊙O中,MN是任一直径。分别以M、N为顶点作圆内接正三边形,与直径MN分别相交于P点和Q点。在MN上任取一点H,过H作弦AB⊥PQ,要使弦AB的长大于a,只要H落在线段PQ之中。而|PQ| 刚好是 |MN|的一半。

 

(2) P = 1/3

贝特兰概率悖论三角形ACD是圆内接正三边形,要使弦AB的长大于a,只要B在弧CD上。而弧CD的长是圆周长的1/3。

 

(3) P = 1/4

贝特兰概率悖论
紫色小圆是大圆内接正三边形的内切圆,要使弦AB的长大于a,只要弦AB与紫色小圆相割,也就是弦AB与紫色小圆内的任意一点相交便可以了。此时可知小圆的半径是大圆半径的一半,所以小圆的面积是大圆面积的1/4。

 以上的几分之几都是由 几何概率模型(Geometric Models of Probability)所得。

贝特兰概率悖论

上一篇

下一篇