矩阵分块 | 玄数

2018-07-23

可以把矩阵A用若干条横线、纵线许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块。矩阵分块的分法有很多
block matrix

现用分块矩阵来证明 |AB| = |A||B|. 设有n阶方阵A、m阶方阵B和行列式D, 其中AB中的数是D的一部分,排列如下
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分别对方阵AB代表的行列式|A|, |B| 作行运算ri + krj,和列运算ci + kcj, 也对D的前n行作运算ri + krj,后m列作运算ci + kcj, 都化为下三角矩阵,可得
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可见:当一个矩阵可分块成,即有4个子矩阵,而右上角的子矩阵为零矩阵时,不论左下角的子矩阵C是什么形式,都有D = |A||B|.

现在要把构造进入到中. 设AB都是2阶方阵,C = –E.

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AB都是n阶方阵时, b1j乘第1列, b2j乘第2列, …bnj乘第n列, 都加到第n+j列上(j = 1, 2, … , n), 依旧能得
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交换n行得
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最终有 D = |AB| = |A||B|
 
 

分块矩阵的运算

(1) 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有
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(2)
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(3) 设A为m×k矩阵,B为k×n矩阵,分块成A子矩阵的列数 = B子矩阵的行数,有
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(4)
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矩阵分块