代数 | 玄数

2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2017-04-09

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem”。 毕达哥拉斯是公元前500多年的古希腊数学家,由他创立的毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 —— 万物皆数。毕达哥拉斯在一次宴会中,发现了直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

 
毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem
(更多…)


2017-03-14

3.14是圆周率π的近似值,3月14日便被约定为一年一度的圆周率日。

圆周率是圆周长与直径的比值。π作为圆周率的符号,是由著名数学家欧拉于公元1737年首先使用的。阿基米德曾用“逼近”的思想——不断地扩大正多边形的边数,求出圆周率π满足:π的连分数 。用22/7来代替π,对于人类的日常生活是足够了!所以历史上称22/7为π的“约率”。

在分母小于100的分数中,再也找不到第二个比它更接近π的了!比 更接近π的下一个分数是333/106,而分母小于三万的分数中,最接近π的是355/133,通称“密率”。由我国南北朝时期的数学家祖冲之(429~500)算出。
祖冲之 ZuChongZhi

但这些分数都是有理数,公元1761年,德国数学家兰伯特(Lambert,1728—1777)证明了π是个无理数。

 

任何一个实数都可以表为连分数的形式,它可以通过辗转相除的方法求得。
连分数

一个有限的连分数代表着一个有理数;反过来,一个有理数也一定能通过辗转相除,化为有限的连分数。例如:
连分数

 

从而,把π展成连分数,它一定也是无限的。那么π的连分数又是怎么算的呢?由约率可轻易得到
π的连分数

下一个
π的连分数
x是多少?

 

π的小数点后截取7位3.1415926作为π的近视值,得

π的连分数

 

再下一个
π的连分数

 

接着
π的连分数

但要注意到0.004这个数是有误差的,一点点的误差,倒数会差别很大。所以,要在小数点后截取更多的位数来求3.14159265358979323846
π的连分数

 

π的连分数

π的约率、密率、连分数


2015-03-13

2013年山东卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分13分)

设函数2013年山东卷(理),(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R)

(Ⅰ) 求f(x)的单调区间、最大值

(Ⅱ) 讨论关于x的方程 |lnx|= f(x) 的根的个数.

 

 

2011年四川卷(文/理)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

已知函数2011年四川卷(文/理)

(Ⅰ) 设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;

(Ⅱ) 设a∈R,解关于的方程2011年四川卷(文/理)

(Ⅲ) 试比较2011年四川卷(文/理)与1/6的大小.


2015-02-17

空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指能指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系,同理左手直角坐标系。
left hand right hand coordinate

 

另外一种判断方法:

左手坐标系 left hand coordinate
左手坐标系:当左手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向。

右手坐标系 right hand coordinate
右手坐标系:当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向。

左手, 右手坐标系


2015-02-15
Α α Alpha Ν ν
Β β Beta Ξ ξ Xi
Γ γ Gamma Ο ο Omicron
Δ δ Delta Π π Pi
Ε ε Epsilon Ρ ρ Tho
Ζ ζ Zeta Σ σ Sigma
Η η Eta Τ τ Tau
Θ θ Theta Υ υ Upsilon
Ι ι Iota Φ φ Phi
Κ κ Kappa Χ χ Chi
Λ λ Lambda Ψ ψ Psi
Μ μ Ω ω Omega

希腊字母表 Ελληνικό Αλφάβητο


2014-10-21

当分子不能把分母除尽时,一定会某一位开始不断地出现循环吗?
循环无限小数 decimal recur

  • 1/3,第1次的余数就是1,小数从第2位开始循环,1/3 = 0.333 ···
  • 1/9,第1次的余数就是1,小数从第2位开始循环,1/9 = 0.111 ···

 

循环无限小数 decimal recur
(更多…)


2014-09-18

一个无限循环小数一定可以写成分数形式吗?

 

1.   从第一位开始循环

方程法:

(1) 0.3333 … …

.                                    设 0.3333 … … = x, 10x = 3.3333 … …

.                                    10x – x = 3.3333 … …  –  0.3333 … …

.                                            9x = 3

.                                              x = 1/3

 

(2)0.1234512345 … …

.                                    设 0.1234512345 … … = x, 100000x = 12345.1234512345 … …

.                                    100000x – x = 12345.1234512345  … …  –  0.1234512345 … …

.                                            99999x = 12345

.                                                      x = 12345 / 99999

.                                                        = 4115 / 33333

(更多…)