代数 | 玄数

2019-02-14

去年的情人节,为大家介绍了心形函数 x2 –|x|y + y2 = 4。
心形

当然,这世界上的心形函数多种多样,还能够怎么演变呢?又得从椭圆函数x2 –xy + y2 = 4说起
类似于椭圆
 

现在,为使函数简化,取半径为1得x2 –xy + y2 = 1. 为了使其演变成偶函数f(-x) = f(x),关于y轴对称,尝试一下x2 –x2y + y2 = 1. (更多…)


2019-01-13

一. 两位数相乘,十位数都是1
11 × 12 = 132 → 3: 1+2
12 × 13 = 156 → 5: 2+3
12 × 14 = 168 → 6: 2+4

个位数相乘不进位 ——
个位数: 原个位数相乘, 十位数: 原个位数相加, 百位数: 1.

 
13 × 14 = 182 → 8: 3+4+1
13 × 15 = 195 → 9: 3+5+1
16 × 18 = 288 → 8: 6+8+4 = 18 → 1+1 = 2 (百位数)
17 × 19 = 323 → 2: 7+9+6 = 22 → 2+1 = 3 (百位数)

个位数相乘进位 ——
个位数: 原个位数相乘所得的个位数,
十位数: 原个位数相加 + 原个位数相乘后的进位,如8: 6+8+4中的4是6×8 = 48的4
百位数: 若十位数不进位,取1;否则,进位数+1作为百位数. 如2+1 = 3中的2是十位22中的2.

 
 
二. 十位数一样,个位数加起来等于10
54 × 56 = ?
81 × 89 = ?

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2018-12-21

一. 位数相同的1的乘法:从1位到9位都有着对称的规律,10位和以上的就没有了
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
11111 × 11111 = 123454321
111111 × 111111 = 12345654321
1111111 × 1111111 = 1234567654321
11111111 × 11111111 = 123456787654321
111111111 × 111111111 = 12345678798654321
1111111111 × 1111111111 = 12345678790098654321

 

二. 两个1的之间夹0,乘以少了1位的数:把数字双写
101 × 11 = 1111
101 × 55 = 5555
101 × 37 = 3737
101 × 68 = 6868
1001 × 222 = 222222
1001 × 666 = 666666
1001 × 928 = 928928
10001 × 8888 = 88888888

 

三. 1~9去掉8,与9的倍数相乘:111111111 ÷ 9 = 12345679,刚好少了个8
12345679 × 9 = 111111111
12345679 × 18 = 222222222
12345679 × 27 = 333333333
12345679 × 36 = 444444444
12345679 × 45 = 555555555
12345679 × 54 = 666666666
12345679 × 63 = 777777777
12345679 × 72 = 888888888
12345679 × 81 = 999999999

 
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2018-02-14

最简单的心形表达式:r = 1 – sinθ(极坐标)
r = 1 – sinθ

这个式子还有一个来历 —— 数学家笛卡尔的爱情故事:

1649年,52岁的笛卡尔认识了18岁的瑞典公主克里斯汀。公主被笛卡尔的数学魅力折服了,于是,两人便堕入爱河。

但你说国王怎么会同意呢,必须把他们俩分开。那么公主与笛卡尔只好通过书信来维持这段爱情。在第13封信后,笛卡尔离开人世。信里就这么一个公式:r=a(1-sinθ)。克里斯汀公主依据方程画出图形,哦,是个心形,他一直爱着我。

以上的是故事,故事!

 

这条式子虽简单,但大概不会令人太过满意,因为它跟❤还差一段距离,下边过于圆满,不尖。那么怎么用不太复杂的数学函数式,来画出相对接近真实心形的图案呢?

 

(1)跟圆有点接近

圆的方程:x2 + y2 = 4

圆的方程

 

 

(2)切开只看一半:上部是鼓起、凸起的弧形,而下部是接近直线的弧形。

对圆的方程:x2 + y2 = 4 增加一项 -2xy 便可得 (x – y)2 = 4。这实际上就是 |x – y| = 2,是两条平行的直线
|x – y| = 2

把这两个图折中一下,会怎么样呢?x2 –xy + y2 = 4得到的是下面类似于椭圆的图形

类似于椭圆

 

 

(3)轴对称图形:关于y轴对称。

保留在y轴的右边部分,而删掉左边部分,然后把右边的复制到左边。如何使x2 –xy + y2 = 4 变为关于y轴对称呢?根据f(-x) = f(x),对x加上绝对值,得x2 –|x|y + y2 = 4
心形

这才真正的是个心形。但如果你不满意,可在|x|y前加一个小于2的系数,如x2 –1.3|x|y + y2 = 4,便可使图形上部更凸一些
heart-shaped

 
 

相关阅读:情人节快乐,心形函数(2)

 
 

情人节快乐,怎么用函数表达式画心形


2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2017-04-09

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem”。 毕达哥拉斯是公元前500多年的古希腊数学家,由他创立的毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 —— 万物皆数。毕达哥拉斯在一次宴会中,发现了直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

 
毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem
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2017-03-14

3.14是圆周率π的近似值,3月14日便被约定为一年一度的圆周率日。

圆周率是圆周长与直径的比值。π作为圆周率的符号,是由著名数学家欧拉于公元1737年首先使用的。阿基米德曾用“逼近”的思想——不断地扩大正多边形的边数,求出圆周率π满足:π的连分数 。用22/7来代替π,对于人类的日常生活是足够了!所以历史上称22/7为π的“约率”。

在分母小于100的分数中,再也找不到第二个比它更接近π的了!比 更接近π的下一个分数是333/106,而分母小于三万的分数中,最接近π的是355/133,通称“密率”。由我国南北朝时期的数学家祖冲之(429~500)算出。
祖冲之 ZuChongZhi

但这些分数都是有理数,公元1761年,德国数学家兰伯特(Lambert,1728—1777)证明了π是个无理数。

 

任何一个实数都可以表为连分数的形式,它可以通过辗转相除的方法求得。
连分数

一个有限的连分数代表着一个有理数;反过来,一个有理数也一定能通过辗转相除,化为有限的连分数。例如:
连分数

 

从而,把π展成连分数,它一定也是无限的。那么π的连分数又是怎么算的呢?由约率可轻易得到
π的连分数

下一个
π的连分数
x是多少?

 

π的小数点后截取7位3.1415926作为π的近视值,得

π的连分数

 

再下一个
π的连分数

 

接着
π的连分数

但要注意到0.004这个数是有误差的,一点点的误差,倒数会差别很大。所以,要在小数点后截取更多的位数来求3.14159265358979323846
π的连分数

 

π的连分数

π的约率、密率、连分数


2015-03-13

2013年山东卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分13分)

设函数2013年山东卷(理),(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R)

(Ⅰ) 求f(x)的单调区间、最大值

(Ⅱ) 讨论关于x的方程 |lnx|= f(x) 的根的个数.

 

 

2011年四川卷(文/理)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

已知函数2011年四川卷(文/理)

(Ⅰ) 设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;

(Ⅱ) 设a∈R,解关于的方程2011年四川卷(文/理)

(Ⅲ) 试比较2011年四川卷(文/理)与1/6的大小.