式 | 玄数

2019-05-11

1. 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2
 
2. 1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n×(n + 1) = n(n + 1) (n + 2) / 3
 
3. 1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + … + n×(n + 1)×(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/ 4
 
4. 1×n + 2×(n – 1) + 3×(n – 2) + … + (n – 1)×2 + n×1 = n(n + 1) (n + 2) / 6

 

推导证明:
1. 等差数列求和公式

 
2.
1×2 = (1×2×3 – 0×1×2) / 3
2×3 = (2×3×4 – 1×2×3) / 3
3×4 = (3×4×5 – 2×3×4) / 3
n×(n + 1) = [ n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) ] / 3

∴ 原式
= (1×2×3 – 0×1×2) / 3 + (2×3×4 – 1×2×3) / 3 + (3×4×5 – 2×3×4) / 3 + … + [ n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) ] / 3
= n(n + 1)(n + 2) / 3

 
3. 证法同上:每一项都拆分为两个4项连续数字相乘的差,然后互相抵消

 
4.
方法一:把 (n – 1) 拆分成2个相加,(n – 2) 拆分成3个相加,(n – 3) 拆分成4个相加… … 可转为多个等差数列相加,最大的一项分别是n、(n – 1)、(n – 2) … …
原式
= [ n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 ] + [ (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 ] + [ (n – 2) + (n – 3) + … + 2 + 1 ] + … + (2 + 1) + 1 (更多…)


2019-01-13

一. 两位数相乘,十位数都是1
11 × 12 = 132 → 3: 1+2
12 × 13 = 156 → 5: 2+3
12 × 14 = 168 → 6: 2+4

个位数相乘不进位 ——
个位数: 原个位数相乘, 十位数: 原个位数相加, 百位数: 1.

 
13 × 14 = 182 → 8: 3+4+1
13 × 15 = 195 → 9: 3+5+1
16 × 18 = 288 → 8: 6+8+4 = 18 → 1+1 = 2 (百位数)
17 × 19 = 323 → 2: 7+9+6 = 22 → 2+1 = 3 (百位数)

个位数相乘进位 ——
个位数: 原个位数相乘所得的个位数,
十位数: 原个位数相加 + 原个位数相乘后的进位,如8: 6+8+4中的4是6×8 = 48的4
百位数: 若十位数不进位,取1;否则,进位数+1作为百位数. 如2+1 = 3中的2是十位22中的2.

 
 
二. 十位数一样,个位数加起来等于10
54 × 56 = ?
81 × 89 = ?

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2018-12-21

一. 位数相同的1的乘法:从1位到9位都有着对称的规律,10位和以上的就没有了
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
11111 × 11111 = 123454321
111111 × 111111 = 12345654321
1111111 × 1111111 = 1234567654321
11111111 × 11111111 = 123456787654321
111111111 × 111111111 = 12345678798654321
1111111111 × 1111111111 = 12345678790098654321

 

二. 两个1的之间夹0,乘以少了1位的数:把数字双写
101 × 11 = 1111
101 × 55 = 5555
101 × 37 = 3737
101 × 68 = 6868
1001 × 222 = 222222
1001 × 666 = 666666
1001 × 928 = 928928
10001 × 8888 = 88888888

 

三. 1~9去掉8,与9的倍数相乘:111111111 ÷ 9 = 12345679,刚好少了个8
12345679 × 9 = 111111111
12345679 × 18 = 222222222
12345679 × 27 = 333333333
12345679 × 36 = 444444444
12345679 × 45 = 555555555
12345679 × 54 = 666666666
12345679 × 63 = 777777777
12345679 × 72 = 888888888
12345679 × 81 = 999999999

 
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2017-03-14

3.14是圆周率π的近似值,3月14日便被约定为一年一度的圆周率日。

圆周率是圆周长与直径的比值。π作为圆周率的符号,是由著名数学家欧拉于公元1737年首先使用的。阿基米德曾用“逼近”的思想——不断地扩大正多边形的边数,求出圆周率π满足:π的连分数 。用22/7来代替π,对于人类的日常生活是足够了!所以历史上称22/7为π的“约率”。

在分母小于100的分数中,再也找不到第二个比它更接近π的了!比 更接近π的下一个分数是333/106,而分母小于三万的分数中,最接近π的是355/133,通称“密率”。由我国南北朝时期的数学家祖冲之(429~500)算出。
祖冲之 ZuChongZhi

但这些分数都是有理数,公元1761年,德国数学家兰伯特(Lambert,1728—1777)证明了π是个无理数。

 

任何一个实数都可以表为连分数的形式,它可以通过辗转相除的方法求得。
连分数

一个有限的连分数代表着一个有理数;反过来,一个有理数也一定能通过辗转相除,化为有限的连分数。例如:
连分数

 

从而,把π展成连分数,它一定也是无限的。那么π的连分数又是怎么算的呢?由约率可轻易得到
π的连分数

下一个
π的连分数
x是多少?

 

π的小数点后截取7位3.1415926作为π的近视值,得

π的连分数

 

再下一个
π的连分数

 

接着
π的连分数

但要注意到0.004这个数是有误差的,一点点的误差,倒数会差别很大。所以,要在小数点后截取更多的位数来求3.14159265358979323846
π的连分数

 

π的连分数

π的约率、密率、连分数


2012-04-13

1.

把一个蛋糕平均分成4份,那么每一份都是原来的1/4。1/4 是一个分数,如果把式子也写成这种形式,将得到分式(Faction)。写在横线上的是分子(Numerator),横线下的是分母(Denominator)。如:

分式

 
分式有意义的基础是:分母不为零。
 
 

2.  分式的基本性质:

分式的分子、分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。即

分式的基本性质

如:

(1)

分式的基本性质

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2012-02-24

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + a6

… …

(a + b)n = ?

 

杨辉三角

在二项式 (a + b)n 中,每一单项式的次数和都等于n,把每一项的系数列出来,可以得到一个杨辉三角:三角形左边和右边的数字全都是1,而内部的每一个数字都是连接到它的上端的两个数字之和。内部的数字究竟还有其他什么特征?

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2011-12-28

1.   什么是对数

2x = 1/4,   3x = 2187,   4x = 256,   5x = 625,   6x = 1/216,   7x = 343,   8x = 32769,   9x = 81,   10x = 1000000.    上面各式中的 x 分别是多少?

 

当 a > 0,a≠1 时,   ax = N    ←→    x = logaN ,x 就是以 a 为底的对数(Logarithm),a 叫做对数的底数,N 叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数(Common  Logarithm),记做 lgN .   以 e (e = 2.071828 … )为底的对数叫做自然对数(Natural  Logarithm),记做 ln N.

  • 2x = 1/4    ←→    x = log2(1/4)= -2
  • 3x = 2187    ←→    x = log2187= 7
  • 4x = 256    ←→    x = log256= 4
  • 5x = 625    ←→    x = log625= 4
  • 6x = 2187    ←→    x = log(1/216)= -3
  • 7x = 343    ←→    x = log343= 3
  • 8x = 32768    ←→    x = log32768= 5
  • 9x = 81    ←→    x = log81= 2
  • 10x = 1000000    ←→    x = lg 100000 = 6
  • log1 = 0
  • loga = 1

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2011-12-07

整式的乘法

1.  单项式 × 单项式:系数、相同字母分别相乘,相同字母的指数相加

  • ab2 • a2c4 = a3b2c4
  • 7xy • 11x2yz = 77x3y2z

2.  单项式 × 多项式:用单项式 × 多项式的每一项,再把所得的积相加

  • a • (x + y) = ax + ay
  • 4a3b • (2bc + 9ad) = 8a3b2c + 36a4bd

3.  多项式 × 多项式:用一个多项式的每一项 × 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加

  •  (a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by
  •  (a + b) (x + y) (m + n) = (ax + ay + bx + by) (m + n) = amx + anx + amy + any + bmx + bmy + bnx + bny

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