式 | 玄数

2017-03-14

3.14是圆周率π的近似值,3月14日便被约定为一年一度的圆周率日。

圆周率是圆周长与直径的比值。π作为圆周率的符号,是由著名数学家欧拉于公元1737年首先使用的。阿基米德曾用“逼近”的思想——不断地扩大正多边形的边数,求出圆周率π满足:π的连分数 。用22/7来代替π,对于人类的日常生活是足够了!所以历史上称22/7为π的“约率”。

在分母小于100的分数中,再也找不到第二个比它更接近π的了!比 更接近π的下一个分数是333/106,而分母小于三万的分数中,最接近π的是355/133,通称“密率”。由我国南北朝时期的数学家祖冲之(429~500)算出。
祖冲之 ZuChongZhi

但这些分数都是有理数,公元1761年,德国数学家兰伯特(Lambert,1728—1777)证明了π是个无理数。

 

任何一个实数都可以表为连分数的形式,它可以通过辗转相除的方法求得。
连分数

一个有限的连分数代表着一个有理数;反过来,一个有理数也一定能通过辗转相除,化为有限的连分数。例如:
连分数

 

从而,把π展成连分数,它一定也是无限的。那么π的连分数又是怎么算的呢?由约率可轻易得到
π的连分数

下一个
π的连分数
x是多少?

 

π的小数点后截取7位3.1415926作为π的近视值,得

π的连分数

 

再下一个
π的连分数

 

接着
π的连分数

但要注意到0.004这个数是有误差的,一点点的误差,倒数会差别很大。所以,要在小数点后截取更多的位数来求3.14159265358979323846
π的连分数

 

π的连分数

π的约率、密率、连分数


2012-04-13

1.

把一个蛋糕平均分成4份,那么每一份都是原来的1/4。1/4 是一个分数,如果把式子也写成这种形式,将得到分式(Faction)。写在横线上的是分子(Numerator),横线下的是分母(Denominator)。如:

分式

 

 

2.  分式的基本性质:

分式的分子、分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。即

分式的基本性质

如:

(1)

分式的基本性质

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2012-02-24

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + a6

… …

(a + b)n = ?

 

杨辉三角

在二项式 (a + b)n 中,每一单项式的次数和都等于n,把每一项的系数列出来,可以得到一个杨辉三角:三角形左边和右边的数字全都是1,而内部的每一个数字都是连接到它的上端的两个数字之和。内部的数字究竟还有其他什么特征?

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2011-12-28

1.   什么是对数

2x = 1/4,   3x = 2187,   4x = 256,   5x = 625,   6x = 1/216,   7x = 343,   8x = 32769,   9x = 81,   10x = 1000000.    上面各式中的 x 分别是多少?

 

当 a > 0,a≠1 时,   ax = N    ←→    x = logaN ,x 就是以 a 为底的对数(Logarithm),a 叫做对数的底数,N 叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数(Common  Logarithm),记做 lgN .   以 e (e = 2.071828 … )为底的对数叫做自然对数(Natural  Logarithm),记做 ln N.

  • 2x = 1/4    ←→    x = log2(1/4)= -2
  • 3x = 2187    ←→    x = log2187= 7
  • 4x = 256    ←→    x = log256= 4
  • 5x = 625    ←→    x = log625= 4
  • 6x = 2187    ←→    x = log(1/216)= -3
  • 7x = 343    ←→    x = log343= 3
  • 8x = 32768    ←→    x = log32768= 5
  • 9x = 81    ←→    x = log81= 2
  • 10x = 1000000    ←→    x = lg 100000 = 6
  • log1 = 0
  • loga = 1

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2011-12-07

整式的乘法

1.  单项式 × 单项式:系数、相同字母分别相乘,相同字母的指数相加

  • ab2 • a2c4 = a3b2c4
  • 7xy • 11x2yz = 77x3y2z

2.  单项式 × 多项式:用单项式 × 多项式的每一项,再把所得的积相加

  • a • (x + y) = ax + ay
  • 4a3b • (2bc + 9ad) = 8a3b2c + 36a4bd

3.  多项式 × 多项式:用一个多项式的每一项 × 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加

  •  (a + b) (x + y) = ax + ay + bx + by
  •  (a + b) (x + y) (m + n) = (ax + ay + bx + by) (m + n) = amx + anx + amy + any + bmx + bmy + bnx + bny

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2011-12-04

1.  幂

a • a •  …• a = an  求n个相同因数的乘积的运算,叫做乘方、幂(Power)。在an中,a是底数(Base Number),n是指数(Exponent)。可an读作a的n次方,或读作a的n次幂

power

 

2.  二次幂也叫平方,正方形的面积就是边长的平方

  • 02 = 0
  • 12 = 1
  • 22 = 4
  • 32 = 9
  • 42 = 16
  • 52 = 25
  • 62 = 36
  • 72 = 49
  • 82 = 64
  • 92 = 91
  • 102 = 100

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2011-12-03

Monomial

1.  单独一个数,一个字母,数和字母的乘积,都是单项式(Monomial)。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(Coefficient);一个单项式中,所有字母的指数的叫做这个单项式的次数(Degree of a Monomial)

  • 1,50,2012  —— 数字式单项式
  • a —— 系数是1,次数是1
  • 10x —— 系数是10,次数是1
  • πr2 —— 系数是π,次数是2
  • 3x3y3 —— 系数是3,次数是6

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