函数 | 玄数

2012-04-13

rational function

形如这样的函数叫做有理函数(Rational Function)。其中n和m都是非负整数;a0,a1,a2 … an 及 b0,b1,b2 … bm 都是实数,并且a0 ≠ 0,b0 ≠ 0。我们总是假设P (x) 和Q (x) 之间是没有公因式的。当n < m 时,称此有理函数是真分式;当n ≥ m 时,称此有理函数是假分式。利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式。

有理函数

 

 

分式的加减法可得

有理函数

 

你如何才能做出逆运算?即有理函数可以分解为什么样的分式之和? (更多…)


2012-04-13

1. 极值

设函数 f (x) 在点x0的某邻域 U (x0) 内有定义,如果对于去心邻域内的任一x,有f (x) < f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极大值;如果f (x) > f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极小值

 

必要条件

设函数 f (x) 在x0处可导,且在x0处取得极值,那么f′ (x) = 0。

也就是说:可导函数的极值点必是它的驻点。但反过来,函数的驻点不一定是极值点。如:f (x) = x3 的导数f′ (x) =3x2,f′ (0) = 0。x = 0 是函数的驻点,但不是极值点。

 

第一充分条件

maxima minima

设函数 f (x) 在 x处连续,且在点 x的某去心邻域(x– δ,x+ δ)内可导。 (更多…)


2012-04-13

凹凸性

1.   如上图所示,虽然同是增函数,但曲线的凹凸性是不同的,红色的曲线是向上凸的,而蓝色曲线则是向下凹的。如何来定义曲线的凹凸性呢?下图中,

在红色向上凸的曲线上任取两点A、B,连接AB所得的线段总是在曲线的下方

在蓝色向下凹的曲线上任取两点C、D,连接CD所得的线段总是在曲线的上方

concave convex
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2012-04-13

1.  用不等式来判别:

设函数 f (x) 的定义域为D,区间 I∈D,如果对于区间 I 上任意两点x1,x2

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≤ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调增加(Monotonically Increasing)。

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≥ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调减少(Monotonically Decreasing)。

单调增加和单调减少的函数称为单调函数(Monotonic Function)。

 

(1)一次函数f (x) = kx + b,当 k>0 时,函数单调增加;当k<0 时,函数单调减少。

单调函数

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2012-02-19

如果函数f (x) 在开区间 (a,b) 内连续,在左端点a右连续,在右端点b左连续,那么函数 f (x) 就在闭区间 [a,b] 上连续。

 

1.  最值

对于在区间I上有定义的函数 f (x),如果有x0∈I,使得对于任一x∈I 都有 f (x) ≤ f (x0),则称f (x0)是函数 f (x) 在区间I上的最大值(Maximum);

如果使得对于任一x∈I 都有 f (x) ≥ f (x0),则称f (x0)是函数 f (x) 在区间I上的最小值(Minimum)。

max min

 

2.  有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数值该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

最大值最小值
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2012-02-18

1.  函数的间断点

函数可以在点 x0 连续,当然也可以在点 x0 不连续

设函数 f (x) 在点 x的某去心邻域内有定义,如果函数 f (x) 有下列三种情况之一:

  1. 在 x = x0 没有定义
  2. 虽在  x = x0 有定义,但 函数的极限不存在
  3. 虽在  x = x0 有定义,且 存在,但函数的极限 ≠ f ( x0)

则函数 f (x) 在点 x为不连续,则 点 x称为函数 f (x) 的不连续点,或间断点(point of Discontinuity)。

 

2.  可去间断点(Removable Discontinuity)

可去间断点

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2012-02-18

1.  函数连续的定义

continuous function

设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续

 

数学符号表达为:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – f (x0) | < ε。这与函数的极限有点相似:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε,是把 A 换成了f (x0)。但也正好是“极限等于该点的函数值”时,函数连续。所有函数连续的定义又叙述为:设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。

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2012-02-18

1.  双曲函数(Hyperbolic Function)

双曲函数(Hyperbolic Function)是由指数函数ex 和e–x 通过运算所产生的函数。

hyperbolic function

双曲函数的名称与读法与三角函数类似,先读双曲(“h”),前三个字母按照三角函数读

sinh x(sh x)—— 双曲正弦(Hyperbolic sine)

cosh x(ch x)—— 双曲余弦(Hyperbolic cosine)

tanh x(th x)—— 双曲正切(Hyperbolic tangent)

coth x —— 双曲余切(Hyperbolic cotangent)

sech x —— 双曲正割(Hyperbolic secant)

csch x —— 双曲余割(Hyperbolic cosecant)

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