图形与表达式 | 玄数

2018-02-14

最简单的心形表达式:r = 1 – sinθ(极坐标)
r = 1 – sinθ

这个式子还有一个来历 —— 数学家笛卡尔的爱情故事:

1649年,52岁的笛卡尔认识了18岁的瑞典公主克里斯汀。公主被笛卡尔的数学魅力折服了,于是,两人便堕入爱河。

但你说国王怎么会同意呢,必须把他们俩分开。那么公主与笛卡尔只好通过书信来维持这段爱情。在第13封信后,笛卡尔离开人世。信里就这么一个公式:r=a(1-sinθ)。克里斯汀公主依据方程画出图形,哦,是个心形,他一直爱着我。

以上的是故事,故事!

 

这条式子虽简单,但大概不会令人太过满意,因为它跟❤还差一段距离,下边过于圆满,不尖。那么怎么用不太复杂的数学函数式,来画出相对接近真实心形的图案呢?

 

(1)跟圆有点接近

圆的方程:x2 + y2 = 4

圆的方程

 

 

(2)切开只看一半:上部是鼓起、凸起的弧形,而下部是接近直线的弧形。

对圆的方程:x2 + y2 = 4 增加一项 -2xy 便可得 (x – y)2 = 4。这实际上就是 |x – y| = 2,是两条平行的直线
|x – y| = 2

把这两个图折中一下,会怎么样呢?x2 –xy + y2 = 4得到的是下面类似于椭圆的图形

类似于椭圆

 

 

(3)轴对称图形:关于y轴对称。

保留在y轴的右边部分,而删掉左边部分,然后把右边的复制到左边。如何使x2 –xy + y2 = 4 变为关于y轴对称呢?根据f(-x) = f(x),对x加上绝对值,得x2 –|x|y + y2 = 4
心形

这才真正的是个心形。但如果你不满意,可在|x|y前加一个小于2的系数,如x2 –1.3|x|y + y2 = 4,便可使图形上部更凸一些
heart-shaped

情人节快乐,怎么用函数表达式画心形


2012-04-25

1.  直线的极坐标方程

(1) 直线l经过极点,从极轴到直线l的角是α ,求直线l的极坐标方程。
直线的极坐标方程
解:以极点O为分界线,直线l上的点的极坐标分成射线OM、射线OM’两部分。射线OM上任意一点的极角都是α ;射线OM’上任意一点的极角都是π – α 。此时极径r可以取全体实数,合起来写,直线l的极坐标方程是:

θ= α (r ∈ R) 或 θ= π – α(r ∈ R)

  (更多…)


2012-04-23

1.  曲线的描绘

已知点F是平面上的一个定点,l是平面上不过点F的一条定直线,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e。求点M的轨迹方程,并绘图观察它属于什么形状。

 

解:取定点F为原点,过点F并垂直于直线l的直线为x轴,过点F并垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系。设M(x,y)为曲线上的任意一点,并设直线l的方程是 x = –p。过点M作MH⊥l,H为垂足。则

点M到点F的距离是 | MF | =

点M到直线l的距离是 | MH | = | x + p |,

由题意可知 | MF | = e | MH |,所以可得曲线的轨迹方程为

 = e | x + p |

两边平方,化简得

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0

 

 

对e分三种情况讨论:

(1)0 < e < 1:

令 e = 2/3,p = 3,代人 = e | x + p |,取若干个特殊点,描点作图,曲线的形状是椭圆


(更多…)


2012-03-08

parabola

1.  抛物线及其标准方程:平面内与一个顶点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(Parabola)。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线

 

去经过点F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K,取FK的中点作为原点,建立平面直角坐标系。设 | KF | = p ( p>0),那么点F的坐标为抛物线,准线l的方程是抛物线。设M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d,则 | MF1 | = d

(更多…)


2012-03-07

hyperbola

上图的曲线是如何得到的?| M1F1 | – | M1F2 |  =  | M2F1 | – | M2F2 |  =  | M3F1 | – | M3F2 | =  …… = 常数

 

1.   双曲线及其标准方程

平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距

 

以经过双曲线两焦点F1、F2 的直线为x轴,线段F1 F2 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系。设焦点F1、F2 的坐标分别为(–c,0)、(c,0),则焦距为2c。设M(x,y)是双曲线上任意一点,有设点M与F1、F2 的距离的差的绝对值等于2a(2a < 2c),由此可得

| MF1 | – | MF2 | =2a

(更多…)


2012-03-05

 

1.  椭圆及其标准方程

平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆(Ellipse)。这两个定点叫做椭圆的焦点(Focal Point),两焦点间的距离叫做焦距(Focal Length)。

(更多…)


2012-01-26

1.  圆的标准方程(Standard Equation of Circle):到一个点到距离等于定长的点的轨迹是圆。圆的半径为r,M(x,y)是圆上任意一点,当圆心刚好与坐标原点O重合时,过M向x轴、y轴作垂线,连接OM,构成的三角形全是直角三角形,由勾股定理可得:圆的方程是 x2 + y2 = r2

circle

当圆心是点C(a,b)时,向坐标轴作垂线和连接MC也能够成直角三角形,此时圆的方程是  (x – a) 2  +  (y – b) 2 = r2。也可由函数的平移看作是x2 + y2 = r2 向右平移 a 个单位长度、并且向上平移 b个单位长度共同作用所得。
(更多…)


2012-01-19

1.   两点间的距离

已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)。分别过两点作x轴 和 y轴的垂线,在Rt△P1 QP2中,|P1 P2|2 = |P1 Q|2 + |P2 Q|2

两点间的距离

从图可知 |P1 Q| = |x2 – x1 |,|P2 Q| = |y2 –  y1 |

代入可得两点间的距离公式:

两点间的距离

(更多…)