1与0.999999……相等吗？
你会说 0.999999…… = 1 – 0.000…..1 = 1 – 
在n→∞时，极限为0，所以0.999999…… 的极限是1. 那也只是极限呀！ 况且
在 a>1, n→∞ 时，极限也为0，难道 1 – = 1 吗？
那请看看下面的推算：
设 x = 0.999999…… (1)
则 10x – 9.999999…… (2)
(2) – (1) → 9x = 9, 得
x = 1
∴ 1 = 0.999999……
还不相信？那再看看：
1/3 = 0.333333…… , 两边同乘3, 得
1 = 0.999999……
芝诺是古希腊的数学家、哲学家，他曾提出过关于运动的多个哲学悖论，其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。
阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，他与乌龟赛跑，将永远追不上乌龟。
假设阿基里斯在A处，而乌龟在T处，T在A的前100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟，必须先跑到乌龟的出发点T；
当他到达T点时，乌龟已前进到了前10米的T1点；
而他到达T1点时，乌龟又前进到了前1米的T2点
… …
因此，乌龟总是在阿基里斯的前面，阿基里斯永远都追不上乌龟。
这明显是和我们的日常生活经验相违背的，当乌龟到达T2时，阿基里斯只要迈出一步，便远远的跑过了T3。
芝诺的论断问题出在哪儿呢？当时人类只有粗糙的无限概念，数学家曾经错误的认为：无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺的追龟问题，无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。
因常理告诉我们，阿基里斯是必定能够追上乌龟的，设阿基里斯追上乌龟时，他跑过的路程为
s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …
由等比数列的求和公式，当公比|q|< 1时，数列无穷递减，极限为0。可得
由此说明：无限多个很小的量的和，可能是有限的。
设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧 
上一次任取分点 A = M0，M1，M2 … … Mi … … Mn–1，Mn = B，并依次连接相邻的分点，得到一内接折线。当分点的数目无限增加，且每一小段 
都缩向一点时，如果此折线长 
的极限存在，则称此极限为曲线弧 的弧长，并称此曲线弧 是可求长的。
（更多…）
如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件，可考虑用定积分来表达这个量：
（1）. A 是与一个变量x的变化区间 [a，b] 有关的量；
（2）. A 对于区间 [a，b] 具有可加性：如果把区间 [a，b] 分成许多部分空间，则A也相应地分成许多部分量，A 等于所有部分量之和；
（3）. 部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi
如果 △A 能近似地表示为 [a，b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积，就把f (x) dx 成为 A 的元素，记为
dA = f (x) dx
那么 A就是f (x) 在区间 [a，b] 上的定积分
如果函数 f (x) 在点a的任意邻域内都无界，那么点a称为函数 f (x) 的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。
1. 设函数 f (x)
在 (a，b]上连续，点a为 f (x) 的瑕点，取t > a
或在 [a，b) 上连续，点b为 f (x) 的瑕点，取t < b，如果极限
存在，则称此极限为函数 f (x) 在 (a，b]上的反常积分，记作 （更多…）
积分就是极限，微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a，b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢？
