玄数

级数表

分类: 导数-微分, 微积分 标签: series, 级数

芝诺是古希腊的数学家、哲学家，他曾提出过关于运动的多个哲学悖论，其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄，他与乌龟赛跑，将永远追不上乌龟。

 

假设阿基里斯在A处，而乌龟在T处，T在A的前100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟，必须先跑到乌龟的出发点T；
当他到达T点时，乌龟已前进到了前10米的T₁点；
而他到达T₁点时，乌龟又前进到了前1米的T₂点
… …
因此，乌龟总是在阿基里斯的前面，阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的，当乌龟到达T₂时，阿基里斯只要迈出一步，便远远的跑过了T₃。

芝诺的论断问题出在哪儿呢？当时人类只有粗糙的无限概念，数学家曾经错误的认为：无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺的追龟问题，无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们，阿基里斯是必定能够追上乌龟的，设阿基里斯追上乌龟时，他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

由等比数列的求和公式，当公比|q|< 1时，数列无穷递减，极限为0。可得

由此说明：无限多个很小的量的和，可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟

分类: 代数, 微积分, 悖论, 数列, 极限, 逻辑 标签: 芝诺悖论, 阿基里斯追龟

1.  圆的周长

（1）在参数方程中

（2）在直角坐标中

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分类: 几何, 周长、面积、体积, 定积分, 微积分 标签: 圆的周长, 圆的面积, 弧长, 扇形的面积

1.   原理

设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧 上一次任取分点 A  = M₀，M₁，M₂ … … M_i … … M_n–1，M_n = B，并依次连接相邻的分点，得到一内接折线。当分点的数目无限增加，且每一小段 都缩向一点时，如果此折线长 的极限存在，则称此极限为曲线弧 的弧长，并称此曲线弧 是可求长的。
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分类: 定积分, 微积分 标签: 弧长

1.   元素法

如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件，可考虑用定积分来表达这个量：

（1）.  A 是与一个变量x的变化区间 [a，b] 有关的量；

（2）.  A 对于区间 [a，b] 具有可加性：如果把区间 [a，b] 分成许多部分空间，则A也相应地分成许多部分量，A 等于所有部分量之和；

（3）.  部分量 dA_i 的近似值可表示为 f (ξ _i)△x_i

如果 △A 能近似地表示为 [a，b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积，就把f (x) dx 成为 A 的元素，记为

dA = f (x) dx

那么 A就是f (x) 在区间 [a，b] 上的定积分

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分类: 定积分, 微积分 标签: 元素法

如果函数 f (x) 在点a的任意邻域内都无界，那么点a称为函数 f (x) 的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

1. 设函数 f (x)
在 (a，b]上连续，点a为 f (x) 的瑕点，取t > a
或在 [a，b) 上连续，点b为 f (x) 的瑕点，取t < b，如果极限

存在，则称此极限为函数 f (x) 在 (a，b]上的反常积分，记作 （更多…）

分类: 定积分, 微积分 标签: 反常积分, 瑕点, 瑕积分

积分就是极限，微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a，b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢？

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分类: 定积分, 微积分 标签: 反常积分

1.  积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，则积分上限的函数

在 [a，b] 上可导，并且它的导数是

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分类: 定积分, 微积分 标签: 牛顿-莱布尼兹公式