微积分 | 玄数

2018-04-15

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2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2012-05-20

1.  圆的周长

(1)在参数方程中

圆的参数方程

 

 

(2)在直角坐标中

圆的周长

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2012-05-17

1.   原理

integral arc
设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧 arc上一次任取分点 A  = M0,M1,M2 … … Mi … … Mn–1,Mn = B,并依次连接相邻的分点,得到一内接折线。当分点的数目无限增加,且每一小段 arc都缩向一点时,如果此折线长 折线长的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。
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2012-05-14

1.   元素法

如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件,可考虑用定积分来表达这个量:

(1).  A 是与一个变量x的变化区间 [a,b] 有关的量;

(2).  A 对于区间 [a,b] 具有可加性:如果把区间 [a,b] 分成许多部分空间,则A也相应地分成许多部分量,A 等于所有部分量之和;

(3).  部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi

integral element

如果 △A 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积,就把f (x) dx 成为 A 的元素,记为

dA = f (x) dx

那么 A就是f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分

integral element

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2012-04-13

如果函数 f (x) 在点a的任意邻域内都无界,那么点a称为函数 f (x) 的瑕点(无界间断点)。无界函数的反常积分又称为瑕积分

瑕积分

 

1. 设函数 f (x)
在 (a,b]上连续,点a为 f (x) 的瑕点,取t > a
或在 [a,b) 上连续,点b为 f (x) 的瑕点,取t < b,如果极限

存在,则称此极限为函数 f (x) 在 (a,b]上的反常积分,记作 (更多…)


2012-04-13

积分

积分就是极限,微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a,b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢?

 

积分

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2012-04-13

1.  积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,则积分上限的函数

积分上限函数

在 [a,b] 上可导,并且它的导数是

积分上限函数的导数

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