1. 原理
设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧 上一次任取分点 A = M0,M1,M2 … … Mi … … Mn–1,Mn = B,并依次连接相邻的分点,得到一内接折线。当分点的数目无限增加,且每一小段
都缩向一点时,如果此折线长
的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。
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1. 元素法
如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件,可考虑用定积分来表达这个量:
(1). A 是与一个变量x的变化区间 [a,b] 有关的量;
(2). A 对于区间 [a,b] 具有可加性:如果把区间 [a,b] 分成许多部分空间,则A也相应地分成许多部分量,A 等于所有部分量之和;
(3). 部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi
如果 △A 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积,就把f (x) dx 成为 A 的元素,记为
dA = f (x) dx
那么 A就是f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分
如果函数 f (x) 在点a的任意邻域内都无界,那么点a称为函数 f (x) 的瑕点(无界间断点)。无界函数的反常积分又称为瑕积分。
1. 设函数 f (x)
在 (a,b]上连续,点a为 f (x) 的瑕点,取t > a
或在 [a,b) 上连续,点b为 f (x) 的瑕点,取t < b,如果极限
存在,则称此极限为函数 f (x) 在 (a,b]上的反常积分,记作 (更多…)
积分就是极限,微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a,b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢?
1. 积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,则积分上限的函数
在 [a,b] 上可导,并且它的导数是
1. 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 具有连续导数,两个函数乘机的导数公式为
(uv) ′= u ′v + uv ′
uv ′= (uv) ′– u ′v
两边求积分得
这应用与 ∫udv 难求,而 ∫vdu 相对容易求出时。
例:
(1).
1. 设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则有换元公式
例:
(1).
(2).
(3).