定积分 | 玄数

2012-05-20

1.  圆的周长

(1)在参数方程中

圆的参数方程

 

 

(2)在直角坐标中

圆的周长

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2012-05-17

1.   原理

integral arc
设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧 arc上一次任取分点 A  = M0,M1,M2 … … Mi … … Mn–1,Mn = B,并依次连接相邻的分点,得到一内接折线。当分点的数目无限增加,且每一小段 arc都缩向一点时,如果此折线长 折线长的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。
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2012-05-14

1.   元素法

如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件,可考虑用定积分来表达这个量:

(1).  A 是与一个变量x的变化区间 [a,b] 有关的量;

(2).  A 对于区间 [a,b] 具有可加性:如果把区间 [a,b] 分成许多部分空间,则A也相应地分成许多部分量,A 等于所有部分量之和;

(3).  部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi

integral element

如果 △A 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积,就把f (x) dx 成为 A 的元素,记为

dA = f (x) dx

那么 A就是f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分

integral element

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2012-04-13

如果函数 f (x) 在点a的任意邻域内都无界,那么点a称为函数 f (x) 的瑕点(无界间断点)。无界函数的反常积分又称为瑕积分

瑕积分

 

1. 设函数 f (x)
在 (a,b]上连续,点a为 f (x) 的瑕点,取t > a
或在 [a,b) 上连续,点b为 f (x) 的瑕点,取t < b,如果极限

存在,则称此极限为函数 f (x) 在 (a,b]上的反常积分,记作 (更多…)


2012-04-13

积分

积分就是极限,微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a,b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢?

 

积分

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2012-04-13

1.  积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,则积分上限的函数

积分上限函数

在 [a,b] 上可导,并且它的导数是

积分上限函数的导数

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2012-04-13

1.  设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 具有连续导数,两个函数乘机的导数公式为

(uv) ′= u ′v + uv ′

uv ′= (uv) ′– u ′v

两边求积分得

分部积分法

这应用与 ∫udv 难求,而 ∫vdu 相对容易求出时。

 

 

例:

(1).
分部积分法

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2012-04-13

1.  设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则有换元公式

换元积分法

 

例:

(1).
换元积分法

 

(2).
换元积分法

 

(3).
换元积分法

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