导数-微分 | 玄数

2012-04-13

1. 极值

设函数 f (x) 在点x0的某邻域 U (x0) 内有定义,如果对于去心邻域内的任一x,有f (x) < f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极大值;如果f (x) > f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极小值

 

必要条件

设函数 f (x) 在x0处可导,且在x0处取得极值,那么f′ (x) = 0。

也就是说:可导函数的极值点必是它的驻点。但反过来,函数的驻点不一定是极值点。如:f (x) = x3 的导数f′ (x) =3x2,f′ (0) = 0。x = 0 是函数的驻点,但不是极值点。

 

第一充分条件

maxima minima

设函数 f (x) 在 x处连续,且在点 x的某去心邻域(x– δ,x+ δ)内可导。 (更多…)


2012-04-13

凹凸性

1.   如上图所示,虽然同是增函数,但曲线的凹凸性是不同的,红色的曲线是向上凸的,而蓝色曲线则是向下凹的。如何来定义曲线的凹凸性呢?下图中,

在红色向上凸的曲线上任取两点A、B,连接AB所得的线段总是在曲线的下方

在蓝色向下凹的曲线上任取两点C、D,连接CD所得的线段总是在曲线的上方

concave convex
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2012-04-13

1.  用不等式来判别:

设函数 f (x) 的定义域为D,区间 I∈D,如果对于区间 I 上任意两点x1,x2

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≤ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调增加(Monotonically Increasing)。

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≥ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调减少(Monotonically Decreasing)。

单调增加和单调减少的函数称为单调函数(Monotonic Function)。

 

(1)一次函数f (x) = kx + b,当 k>0 时,函数单调增加;当k<0 时,函数单调减少。

单调函数

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2012-04-13

1.  f (x) 是任意的函数,如f (x) = ex,f (x) = logax,f (x) = sinx,f (x) = arctanx … … 能否找出一个n次多项式:

pn (x) = k0 + k1 (x – a) + k2 (x – a)2 + k3 (x – a)3 … … + kn (x – a)n             (1)

来近似地表示f (x) ,要求 | f (x) – pn (a) | 是 (x – a)n 高阶的无穷小

 

设 f (x) 在含有a的开区间内具有直到(n+1)阶导数,假设pn (x) 在a处的函数值,以及它到n阶导数在a处的值依次相等,即:

f (a) = pn (a) = k0

f′(a) = p′n (a) = k1 + 2k2 (x – a) + 3k3 (x – a)2 … … + nkn (x – a)n–1

f′′ (a) = p′′n (a) = 2k2 + 2 · 3k3 (x – a) + 3 · 4k3 (x – a)2… … + n · (n –1)kn (x – a)n–2

f′′′ (a) = p′′′n (a) = 2 · 3k3 + 2 · 3 · 4k3 (x – a)… … + n · (n –1) · (n –2)kn (x – a)n–3

 

… …

f (n) (a) = p(n)n (a) = 1 · 2 · 3 ·  …… · n · k = n! · kn

 

∵            所求的函数值及导数值都是在a处

∴           x – a = 0,即上面各等式中蓝色部分的和全都等于0

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2012-03-12

1.  费马引理(Fermat’s lemma)

设函数f (x) 在点x0 的某邻域U (x0) 内有定义,并且在x0 处可导,如果对任意的x∈U (x0) ,有f (x) ≤ f (x0)  ( 或f (x) ≥ f (x0) ),那么f′ (x0) = 0

称导数等于零的点为函数的驻点(Critical Point)(或临界点)。

 

 

2.  罗尔定理(Rolle’s Theorem)

如果函数f (x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;

(2) 在开区间 (a,b) 内可导;

(3) 在区间端点处的函数值相等,即 f (a) = f (b),那么在 (a,b)  内至少有一点 ξ  (a < ξ < b) ,使得 f′ (ξ) = 0

Rolle Theorem

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2012-02-26

1.   一块正方形金属片的边长是x0,热胀后变为x0 + △x,问:它的面积改变了多少?

微分

原来的面积是 S = x02,热胀后的面积是 (x0 + △x)2,那么改变了

△S = (x0 + △x)2 – x02 = 2 x0·△x + (△x)2

2 x0·△x + (△x)2 分为两部分:第一部分2 x0·△x 是 △x 的线性函数,即图中两个绿色矩形面积之和,第二部分(△x)2 是右上角黄色的小正方形面积,当△x→0 时,(△x)2 是比△x 高阶的无穷小,即 (△x)2 = o (△x)。

所以,当热胀冷缩引起的边长变化很小时,即 当| △x | →0 时,△S 可近似地用第一部分来代替:△S ≈ 2 x0·△x

 

对于一般的函数 y = f (x),如果函数的增量 △y 可表示为

△y = A△x + o (△x)

其中A是不依赖于△x的常数,且 △y – A△x = o (△x) 是比△x 高阶的无穷小。当A≠0 且| △x | →0 时,我们可用A△x 来近似地表示△y

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2012-02-25

1.  y = sin x

y=sinx

 

 

2.  y = cos x

y=cosx

 

 

3.  y = tan x

y=tanx

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2012-02-20

1.  函数的和、差、积、商的求导法则

(Cu) ′ = Cu′    (C为常数)

(u ± v) ′ = u′± v′

(uv) ′ = u′v + uv′

(u / v) ′ = (u′v – uv′) / v2   (v≠0)

 

(u + v – w) ′ = u′+ v′– w′

(uvw) ′ = u′vw + uv′w + uvw′

 

d/dx [f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x)

d/dx [f(x) · g(x)] = f′(x)g(x) + g′(x)f(x)

d/dx [ f(x) / g(x) ] = ( f ′(x) g(x) – g(x) f′(x) ) / [g(x)]2        (  g(x) ≠ 0 )

 

 

2.  反函数的求导法则

如果函数 x = f (y) 在区间 Iy 内单调、可导,且 f’(y)≠0,则它的反函数 y = f–1 (x) 在区间 Ix = {x | x = f (y),y∈Iy } 内也可导,且

反函数的导数
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