不定积分 | 玄数

2012-04-13

有理函数

rational function

 

的积分可由以下基本公式推出

rational function integral

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2012-04-13

1.   原函数

如果在区间I上,可导函数 F (x) 的导函数为 f (x),即

F′(x) = f (x)  或dF (x) = f (x) dx

那么函数F (x) 就成为f (x)在区间I上的原函数。如:

  • (x2) ′ = 2x,x2 是2x 的原函数
  • (sin x) ′ = cos x,sin x是cos x 的原函数
  • (ex) ′ = ex,ex 是ex 的原函数

 

原函数存在定理:如果函数f (x) 在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 F (x),使对任一 x∈I 都有F′(x) = f (x)。也就是说:连续函数一定有原函数

∵                任意常数C的导数 (C) ′ = 0

∴                 ( F (x) +C ) ′ = f (x)

 

 

2.   不定积分(Indefinite Integral)

在区间I上,函数f (x) 的带有任意常数项的原函数为 F (x) 在区间I上的不定积分,记作

integra

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2012-04-13

1.  设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 具有连续导数,两个函数乘机的导数公式为

(uv) ′= u ′v + uv ′

uv ′= (uv) ′– u ′v

两边求积分得

分部积分法

这应用与 ∫udv 难求,而 ∫vdu 相对容易求出时。

 

 

例:

(1).
分部积分法

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2012-04-13

1.  设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则有换元公式

换元积分法

 

例:

(1).
换元积分法

 

(2).
换元积分法

 

(3).
换元积分法

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