极限 | 玄数

2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2012-02-18

1.  函数的间断点

函数可以在点 x0 连续,当然也可以在点 x0 不连续

设函数 f (x) 在点 x的某去心邻域内有定义,如果函数 f (x) 有下列三种情况之一:

  1. 在 x = x0 没有定义
  2. 虽在  x = x0 有定义,但 函数的极限不存在
  3. 虽在  x = x0 有定义,且 存在,但函数的极限 ≠ f ( x0)

则函数 f (x) 在点 x为不连续,则 点 x称为函数 f (x) 的不连续点,或间断点(point of Discontinuity)。

 

2.  可去间断点(Removable Discontinuity)

可去间断点

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2012-02-18

1.  函数连续的定义

continuous function

设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续

 

数学符号表达为:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – f (x0) | < ε。这与函数的极限有点相似:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε,是把 A 换成了f (x0)。但也正好是“极限等于该点的函数值”时,函数连续。所有函数连续的定义又叙述为:设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。

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2012-02-06

1.   无穷小(Infinitesimal)

如果函数 f (x) 当x→x0(或x→∞)时的极限为0,那么称函数f (x) 为当x→x0(或x→∞)时的无穷小

定理1:在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中,函数f (x) 具有极限A的充分必要条件是:f (x) = A + α,其中α是无穷小。

 

 

2.   无穷大(Infinity)

设函数f (x) 在点x0的某一去心邻域内有定义(或| x | 大于某一正数时有定义),如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只有x适合不等式 0 < | x – x0 | <δ(或 | x | > X),对应的函数值总满足 | f (x) | > M,就称函数 f (x) 为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

定理2: 在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中,如果 f (x) 为无穷大,则 1 / f (x) 为无穷小;反之,如果f (x) 为无穷小,且f (x) ≠0,则 1 / f (x) 为无穷大。

 

如:对于反比例函数

inverse function

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2012-02-06

1.   数列的极限 {xn}、{yn}

数列的极限

 

 

2.   函数的极限

如果 lim f (x) = A,lim g (x) = B,那么

(1) lim [ c f (x) ] = c lim f (x)

(2) lim [ f (x) ± lim g (x) ] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B

(3) lim [ f (x) · lim g (x) ] = lim f (x) · lim g (x) = A·B

(4) 若B≠0,则

函数的极限

(5)lim [ f (x) ] n = [ lim f (x) ] n

以上法则对于x→x0(或x→∞)都合适。

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2012-02-04

数列 {an} 可看作自变量为n的函数:xn = f (n),n∈N*,所以数列 {an}的极限为a,就是当n→∞时,对应的函数值无限的接近a。现在讨论一般形式的函数f (x) 的极限。 

 

1.  自变量x→x0时函数的极限

如果在x→x0 的过程中,对应的函数值无限的接近常数A,那么称A就是函数f (x) 当x→x0时的极限。

定义:设函数f (x) 在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足 0 < | x – x0 | < δ时,对应的函数值f (x) 都满足不等式 | f (x) – A | < ε,那么称A就是函数f (x) 当x→x0时的极限,记作

函数的极限

或                                                                                f (x)→A (当x→x0

数学符号表达为: ∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε。 limit function

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2012-01-31

1.   中国古代的极限思想

著名哲学家庄子在《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话, “一尺之棰,日取其半,万世不竭。”这句话的大意是:一尺第的木棒,第一天取去一半,第二天取去剩下的一半,以后 每天都取去昨天剩下一半,这样取下去,永远也取不尽。

这个著名的论断,若用近代数学符号表示,可以得到一个无穷的等比数列{an}:

极限

无论n取多大, 都不为零,但当n无限增大时, 却无限接近于零。

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