考试 | 玄数

2015-03-22

SAT

美国麦格劳希尔教育和北京语言大学出版社出版的这本《新SAT官方指南详解 数学分册》有不少错误,包括:印刷错误,可能是不小心打错字的;还有一些逻辑上的错误,也就是题目本来就是错的。

此外,还有一些笨拙的,不够聪明的解法。在这儿列举一些

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1. 印刷错误 Mistake of printing

P65:How can c4 change to c6 but nothing else change?

SAT

 

P86:  You have lack “,” between (3x-5) and q

SAT

 

P105:  +5, not -7

SAT

 

P195:   h = 10 but not 12

SAT

 

P296:  Change all √3 to √5

SAT


2015-03-13

2015年北京卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分13分)

已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且2015年北京卷(理)

记集合M={ an|n∈N*}.

(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;

(Ⅱ)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;

(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.

 

 

2014年浙江卷(理)—— 三、解答题:18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R)

(1) 若f(x)在 上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);

(2) 设b∈R若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.

 

 

2013年四川卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

已知函数2013年四川卷(理),其中a是实数.设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A, B处的切线互相垂直,且x2<0,求x– x1的最小值;

(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点 处的切线重合,求a的取值范围.

 

 

2012年湖北卷(文)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值

(3)证明:f(x)<1/ne

 

 

2011年全国Ⅰ卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足2011年全国Ⅰ卷(理),M点的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。


2015-03-13

2013年山东卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分13分)

设函数2013年山东卷(理),(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R)

(Ⅰ) 求f(x)的单调区间、最大值

(Ⅱ) 讨论关于x的方程 |lnx|= f(x) 的根的个数.

 

 

2011年四川卷(文/理)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

已知函数2011年四川卷(文/理)

(Ⅰ) 设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;

(Ⅱ) 设a∈R,解关于的方程2011年四川卷(文/理)

(Ⅲ) 试比较2011年四川卷(文/理)与1/6的大小.


2013-09-05

2009南昌 —— 四、解答题:22(8分)

如图,已知线段 是 的中点,直线 于点 ,直线 于点 ,点 是 左侧一点, 到 的距离为
(1)作出点 关于 的对称点 ,并在 上取一点 ,使点 、 关于 对称;
(2) 与 有何位置关系和数量关系?请说明理由.

 

2008广州 —— 三、解答题:23(12分)

如图9,射线AM交一圆于点B、C,射线AN交该圆于点D、E,且
(1)求证:AC=AE
(2)利用尺规作图,分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线,两线交于点F(保留作图痕迹,不写作法)求证:EF平分∠CEN

 

2007吉林 —— 三、解答题:22(8分)

图①是等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=DC.图②是与图①完全相同的图形.
(1)请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形,使三角形的各顶点在梯形的边(含顶点)上;
(2)选择(1)中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由.

 

2006江苏扬州 —— 三、解答题:22(12分)

如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2);
(2)在第二象限内的格点上画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是 , △ABC的周长是 (结果保留根号);
(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.

 

2005广西玉林 —— 八、解答题:28(12分)

如图(1),AB是⊙O的直径,射线AT⊥AB,点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合),PC与⊙O相切于C,过C作CE⊥AB于E,连结BC并延长BC交AT于点D,连结PB交CE于F.
(1)请你写出PA、PD之间的关系式,并说明理由;
(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分,并加以证明;
(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R,当CF= R时,求∠APC的度数,并在图(2)中作出点P(要求尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).

 

2004广东 —— 三、解答题:12(6分)

下图是由一个圆,一个半圆和一个三角形组成的图形,请你以直线AB为对称轴,把原图形补成轴对称图形.(用尺规作图,不要求写作法和证明,但要保留作图痕迹)

 

2003 南京 —— 六、解答题:29(6分)

只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图:
(1)在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴:
      ①量出底边BC的长度,将线段BC二等分,即画出BC的中点D;
     ②画直线AD,即画出等腰三角形ABC的对称轴。
(2)在图2中画∠AOB的对称轴,并写出画图的方法。

历年数学中考大题 —— 作图


2013-09-04

2010成都 —— 三、解答题:16(8分)

(2)若关于x的一元二次方程x2 + 4x +2k = 0 有两个实数根,求k的取值范围及k的非负整数值.

 

2006北京  —— 七、解答题:23(7分)

已知:关于x的方程mx2-14x-7=0有两个实数根x1和x2,关于y的方程y2-2(n-1)y+n2-2n=0有两个实数根y1和y2,且-2≤y1<y2≤4。当 时,求m的取值范围。

 

2005内蒙古包头 —— 三、解答题:21

已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0

(1)x=1是方程的一个根,求方程的另一个根;

(2)若x1,x2是方程的两个不同的实数根,且x1和x2满足x12+x22+2x1x2﹣x12x22=0,求m的值.

 

2004青岛—— 四、解答题:18(6分)

已知方程 5x2 + kx – 10 = 0 的一个根是-5,求它的另一个根及k的值.

 

2003 黑龙江 —— 三、解答题:22

关于x的方程2003年黑龙江数学中考 —— 二次函数有两个不相等的实数根。
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0 ?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

历年数学中考大题 —— 方程的根与判别式


2013-09-04

1.   2003 黑龙江 —— 三、解答题:27(9分)

为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:

 

A型

B型

价    格(万元/台)

12

10

处理污水量(吨/月)

240

200

年消耗费(万元/台)

1

1

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元。

(1)请你设计该企业有几种购买方案;

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;

(3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)

 

2.   2004河北 —— 三、解答题:27(12分)

光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:

 

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求yx间的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说

明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;

(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提

出一条合理建议.

 

3.   2005河南 —— 三、解答题:22(10分)

某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

 

价格(万元/台)

7

5

每台日产量(个)

100

60

(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个,那么为了节约资金应选择哪种方案?

 

4.   2006宁夏  —— 四、解答题:25(10分)

为了提高土地的利用率,将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起,俗称“三种三收”,这样种植的方法可将土地每亩的总产量提高 .下表是这三种农作物的亩产量、销售单价及种植成本的对应表:

 

小麦

玉米

黄豆

亩产量(千克)

400

680

250

销售单价(元/千克)

2

1

2.6

种植成本(元/亩)

200

130

50

现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种,为保证主要农作物的种植比例,要求小麦的种植面积占整个种植面积的一半.

 

(1)设玉米的种植面积为 亩,三种农作物的总销售价为 元,写出 与 的函数关系式;
(2)在保证小麦种植面积不变的情况下,玉米、黄豆的种植面积均不得低于一亩,且两种农作物均以整亩数种植,三种农作物套种的种植亩数,有哪几种种植方案?
(3)在(2)中的种植方案中,采用哪种套种方案,才能使总销售价最高?最高价是多少?
(4)在(2)中的种植方案中,采用哪种套种方案,才能使总利润最大?最大利润是多少?(总利润=总销售价-总成本).

 

5.   2007大连  —— 四、解答题:22(7分)

某班级为准备元旦联欢会,欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品,每种奖品至少购买一件,共买16件,恰好用50元.若2元的奖品购买a件.

(1)用含a的代数式表示另外两种奖品的件数;

(2)请你设计购买方案,并说明理由.

 

6.   2008陕西  —— 三、解答题:25(12分)

某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图,甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计),点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处,点A在点M的正西方向,点D在点M的南偏西60°的 km处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:

方案一:供水站建在点M处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;

方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道铺设到A处,请你在图①中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;

方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值。

综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?

 

7.   2009南昌 —— 三、解答题:20(6分)

经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量,农科所采用AB两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):

A:4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2

   5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0

B:4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9

   5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3

(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品,根据以上信息完成下表:

 

优等品数量(颗)

平均数

方差

A

 

4.990

0.103

B

 

4.975

0.093

(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好.

 


2013-09-04

2007吉林 —— 三、解答题:24(8分)

下图是一辆自行车的侧面示意图.已知车轮直径为65cm,车架中AC的长为42cm,座杆AE的长为18cm,点E,A,C在同一条直线上,后轴轴心B与中轴轴心C所在直线BC与地面平行,∠C=73度.求车座E到地面的距离EF. (精确到1cm)(参考数据:sin73°≈0.96,cos73°≈0.29,tan73°≈3.27.)

 

2006山西 —— 三、解答题:21(8分)

(2)为测量某塔AB的高度,在离该塔底部20米处测其顶,仰角为60°,目高1.5米,求该塔的高度。(√3 ≈ 1.7 )

 

2005河南 —— 三、解答题:19(9分)

如图,某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小明想测量A、B之间的距离,他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上,测得B在北偏东32°方向上,且量得B、C之间的距离为100米,根据上述测量结果,请你帮小明计算A、B之间的距离是多少?(结果精确到1米。参考数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480)

 

2004青岛 —— 四、解答题:20(6分)

在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案(如图①所示):
(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;
(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN= ;
(3)量出测倾器的高度AC= .
根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.
如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度(如图②)的方案:
  (1)在图②中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当字母);
  (2)写出你设计的方案.

 

2003 苏州 —— 三、解答题:24(5分)

苏州的虎丘塔塔身倾斜,却历经千年而不倒,被誉为“中国第一斜塔”.如图,BC是过塔底中心B的铅垂线.AC是塔顶A偏离BC的距离.据测量,约为2.34米,倾角约为2° 48’,求虎丘塔塔身AB的长度.(精确到0.1米)
2003年苏州数学中考 —— 应用题

历年数学中考大题 —— 应用题 – 三角函数


2013-06-28

2009深圳 —— 三、解答题:23(10分)

已知: 的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边 与 轴重合(其中 ),直角顶点 落在 轴正半轴上(如图11).
(1)求线段 的长和经过 的抛物线的关系式.(4分)

(2)如图12,点 的坐标为 点 是该抛物线上的一个动点(其中 ),连接 交 于点
          ①当 是等腰三角形时,直接写出此时点 的坐标.(3分)
         ②又连接 (如图13,) 是否有最大面积?若有,求出 的最大面积和此时点 的坐标;若没有,请说明理由.(3分)

 

2008广州 —— 三、解答题:24(14分)

如图10,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是 上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE
(1)求证:四边形OGCH是平行四边形

(2)当点C在 上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度

(3)求证: 是定值

 

2007吉林 —— 三、解答题:28(12分)

如图①,在边长为8 cm正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A,点C同时出发,沿对角线以1cm/s同速度运动,过E作EH垂直AC交的直角边于H;过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG,EB.设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S1,AE,EB,BA围成的图形面积为S2(这里规定:线段的面积为0).E到达C,F到达A停止.若E的运动时间为 s,解答下列问题:

(1) 当0< <8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1=S2.

(2)① 若 是S1与S2的和,求 与 之间的函数关系式.(图②为备用图)
          ② 求 的最大值.

 

2006山西 —— 三、解答题:26(14分)

如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次为A(-4,0)B(-2,0)E(0,8)

(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式。

(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与х轴分别交于C、D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA原面积为S。若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动,与此同时,点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止,求四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出自变量的取值范围;

(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出最大值。

(4)在运动过程中,四边形MDNA能否成为矩形?若能,求出此时t的值,若不能,说明理。

 

2005黄冈 —— 五、解答题:22(16分)

如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。
(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。

(2)试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标。

(3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围。

(4)设从出发起,运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。

 

2004青岛 —— 四、解答题:26(10分)

把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).
(1)在上述旋转过程中,BH与CH有怎样的数量关系?四边形BHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;

(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH= ,△GKH的面积为 ,求 与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;

(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ?若存在,求出此时 的值;若不存在,说明理由.

 

2003 苏州 —— 三、解答题:32(7分)

OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6.
(1)如图1,在OA上选取一点G,将△COG沿CG翻折,使点O落在BC边上,记为E,求折痕CG所在直线的解析式;

(2)如图2,在OC上选取一点D,将△AOD沿AD翻折,使点O落在BC边上,记为E’.
          ①求折痕AD所在直线的解析式;
          ②再作E’F∥AB,交AD于点F.若抛物线过点F,求此抛物线的解析式,并判断它与直线AD的交点的个数.

(3)如图3,一般地,在OC、OA上选取适当的点D’、G’,使纸片沿D’G’翻折后,点O落在BC边上,记为E”.请你猜想:折痕D’G’所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.
2003年苏州数学中考 —— 压轴题

历年数学中考大题 —— 压轴题:动点 – 翻折