高考 | 玄数

2015-03-13

2015年北京卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分13分)

已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且2015年北京卷(理)

记集合M={ an|n∈N*}.

(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;

(Ⅱ)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;

(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.

 

 

2014年浙江卷(理)—— 三、解答题:18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R)

(1) 若f(x)在 上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);

(2) 设b∈R若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.

 

 

2013年四川卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

已知函数2013年四川卷(理),其中a是实数.设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2

(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A, B处的切线互相垂直,且x2<0,求x– x1的最小值;

(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点 处的切线重合,求a的取值范围.

 

 

2012年湖北卷(文)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值

(3)证明:f(x)<1/ne

 

 

2011年全国Ⅰ卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足2011年全国Ⅰ卷(理),M点的轨迹为曲线C。

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。


2015-03-13

2013年山东卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分13分)

设函数2013年山东卷(理),(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R)

(Ⅰ) 求f(x)的单调区间、最大值

(Ⅱ) 讨论关于x的方程 |lnx|= f(x) 的根的个数.

 

 

2011年四川卷(文/理)—— 三、解答题:22.(本小题满分14分)

已知函数2011年四川卷(文/理)

(Ⅰ) 设函数F(x)=f(x)-h(x),求F(x)的单调区间与极值;

(Ⅱ) 设a∈R,解关于的方程2011年四川卷(文/理)

(Ⅲ) 试比较2011年四川卷(文/理)与1/6的大小.


2013-05-07

2015年四川卷(理)—— 三、解答题:21.

已知函数f(x) = –2(x+a)lnx + x2 – 2ax – 2a2 + a,其中a>0.

(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.

(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x) ≥0在区间(1, +∞)内恒成立,且f(x) =0在(1, +∞)内有唯一解.

 

 

2014年重庆卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分12分)

已知函数f(x) = ae2x – be-2x – cx (a,b,c∈R) 的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y = f (x)在点 (0, f(0)) 处的切线的斜率为 4 – c.

(1)  确定a,b的值;

(2)  若c=3,判断f(x)的单调性;

(3)  若f(x)有极值,求c的取值范围.

 

 

2013年陕西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ex,x∈R.

(Ⅰ) 若直线ykx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.

(Ⅲ) 设a<b, 比较2013年陕西卷(理)2013年陕西卷(理)的大小, 并说明理由.

 

 

2012年新课标卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)满足2012年新课标卷(理)

(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;

(Ⅱ)若2012年新课标卷(理),求(a+1)b的最大值

 

 

2011年江苏卷 —— 三、解答题:19.(本小题满分16分)

已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx, f′(x)和g′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f’(x)g′(x) ≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致

(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+ ∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;

(2)设a<0,且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以ab为端点的开区间上单调性一致,求|ab|的最大值。


2013-05-07

2015年陕西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分12分)

设fn(x)是等比数列,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.

证明:函数Fn(x) = fn(x) – 2在(1/2, 1)内有且仅有一个零点(记为xn),且2015年陕西卷(理)

设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)与gn(x)的大小,并加以证明.

 

 

2014年上海卷(理)—— 三、解答题:22.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1, y1), P2(x2, y2)记η=( ax1+by1+c)( ax2+by2+c). 若η<0,则称点P1, P2被直线l分隔。若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1, P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.

⑴ 求证:点A(1, 2), B(-1, 0) 被直线x+y-1=0分隔;

⑵ 若直线y=kx是曲线x2 – 4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;

⑶ 动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.

 

 

2013年福建卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分14分)

已知函数f (x) = sin(ωx+φ)  (ω>0,  0<φ<π) 的周期为π,图像的一个对称中心为(π/4, 0),将函数f (x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移π/2个单位长度后得到函数g(x)的图像.

(1)求函数f (x)与g(x)的解析式;

(2)是否存在x0∈(π/6, π/4),使得f (x0), g(x0), f (x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数a与正整数n,使得F(x)= f (x)+ag(x)在(0, nπ)内恰有2013个零点.

 

 

2012年陕西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

设函数fn(x) = xn + bx + c ( n∈N+, b,c∈R ).

(Ⅰ)设n≥2,b=1, c=-1,证明:fn(x)在区间(1/2, 1)内存在唯一的零点;

(Ⅱ)设n=2,若对任意x1, x2∈[-1, 1],有| f2(x1)- f2(x2)|≤4,求b的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设xn是fn(x)在(1/2, 1)内的零点,判断数列x2, x3 … xn

 

 

2011年江西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

(1)如图,对于任一给定的四面体A1A2A3A4,找出依次排列的四个相互平行的平面 α1α2α3α4,使得Ai∈αi(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等;

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1α2α3α4,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足:Ai∈αi(i=1,2,3,4),求该正四面体A1A2A3A4的体积.


2013-05-06

2015年广东卷(文)—— 三、解答题:20.(本小题满分14分)

已知过原点的动直线l与圆C1: x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)  求圆C1的圆心坐标;

(2)  求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)  是否存在实数k,使得直线L: y = k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

 

 

2014年湖北卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1, 0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C.

(1)  求轨迹为C的方程

(2)  设斜率为k的直线l过定点p(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。

 

 

2013年辽宁卷(理)—— 三、解答题:18.(本小题满分12分)

如图,抛物线C1: x2 = 4y, C2: x2 = -2py (p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0 = 1-√2,切线MA的斜率为-1/2。

(I)求p的值;

(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程。(A,B重合于O时,中点为O)
2013年辽宁卷(理)

 

 

2012年四川卷(文/理)—— 三、解答题:21.(本小题满分12分)

如图,动点M与两定点A(-1,0), B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C。

(Ⅰ)求轨迹C的方程;

(Ⅱ)设直线y = x+m (m>0) 与y轴交于点P, 与轨迹C相交于点Q, R,且|PQ|<|PR|,求2012年四川卷(文/理)的取值范围。
2012年四川卷(文/理)

 

2011年陕西卷(理)—— 三、解答题:17.(本小题满分12分)

如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且2011年陕西卷(理)

(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为4/5的直线被C所截线段的长度2011年陕西卷(理)


2013-05-05

2014年陕西卷(理)—— 三、解答题:18.(本小题满分12分)

在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1), B(2,3), C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上

(1)若2014年陕西卷,求2014年陕西卷

(2)设2014年陕西卷,用x, y表示m – n,并求m – n的最大值.

 

 

2013年江苏卷—— 三、解答题:15.(本小题满分14分)

已知a = (cosα, sinα),b = (cosβ, sinβ),0 <β<α<π。

(1)若|a b | =√2,求证:ab

(2)设c = (0, 1),若a+b = c,求α, β的值。

 

 

2012年江西卷(文)—— 三、解答题:20.(本小题满分13分)

已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足2012年江西卷(文)

(1)求曲线C的方程;

(2)点Q(x0,y0) (-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比。

 

 

2011年重庆卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分12分)

如题(20)图,椭圆的中心为原点O,离心率 2011年重庆卷(理),一条准线的方程为x=2√2.

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

(Ⅱ) 设动点P满足:2011年重庆卷(理) ,其中是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1/2,问:是否存在两个定点F1, F2,使得|PF1| +|PF2| 为定值?若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,说明理由.
2011年重庆卷(理)


2013-05-04

2015年山东卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R。

(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

(Ⅱ)若∀x>0, f(x)成立,求a的取值范围。

 

 

2014年湖南卷(理)—— 三、解答题:22.(本小题满分13分)

已知常数a>0,函数2014年湖南卷(理)

(Ⅰ)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;

(Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+ f(x2)>0,求a的取值范围.

 

 

2013年天津卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=x2lnx.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t=f(s).

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t), 证明: 当t>e2时, 有2013年天津卷(理).

 

 

2012年重庆卷(理)—— 三、解答题:16.(本小题满分13分)

012年重庆卷(理),其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.

(Ⅰ) 求a的值;

(Ⅱ) 求函数的极值.

 

 

2011年天津卷(理)—— 三、解答题:19.(本小题满分14分)

已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的图像连续不断)

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)当a=1/8时,证明:存在x0∈(2, +∞),使f(x0)= f(3/2);

(Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β -α≥1,使f(α)= f(β),证明2011年天津卷(理)


2013-05-03

2015年江苏卷—— 三、解答题:19.

已知函数f(x) = x3+ax2+b  (a, b∈R)

(1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b = c-a(实数c是a与无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是2015年江苏卷,求c的值。

 

 

2014年新课标Ⅱ卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分12分)

已知函数2014年新课标Ⅱ卷(理)

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设2014年新课标Ⅱ卷(理),当x>0时,g(x)>0, 求b的最大值;

(Ⅲ)已知1.4142 < √2 < 1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)

 

 

2013年湖南卷(理)—— 三、解答题:22.(本小题满分13分)

已知a>0,函数2013年湖南卷(理)

(I)记 f(x) 在区间[0, 4]上的最大值为 g(a),求g(a) 的表达式;

(II)是否存在a,使函数y = f (x)在区间(0, 4)内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由。

 

 

2012年北京卷(理)—— 三、解答题:18.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;

(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值

 

 

2011年上海卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分12分)

已知函数f(x) = a·2x + b·3x,其中常数a, b满足ab≠0。

(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;

(2)若ab<0,求 f (x+1) > f (x) 时x的取值范围。