数学名题 | 玄数

2015-02-16

克雷数学研究所Clay Mathematics Institute (www.claymath.org)在2000年5月24日公布的千禧年大奖难题。设立了七百万美元的大奖基金,解决了每个大题的第一个人都可获得一百万美元的奖励。

这世界七大数学难题分别是:庞加莱猜想、黎曼假设、霍奇猜想、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、P对NP问题、BSD猜想。

 

庞加莱猜想Poincaré Conjecture:

由法国数学家亨利·庞加莱Jules Henri Poincaré在1904年提出的一个拓扑学的猜想:一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点,或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。

此问题已被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

 

黎曼假设Riemann Hypothesis:

德国数学家波恩哈德·黎曼Bernhard Riemann于1859年提出:素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。此问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上,已由希尔伯特提出过

 

霍奇猜想Hodge Conjecture:

由英国数学家威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇 William Vallance Douglas Hodge提出,它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。

 

杨-米尔斯理论Yang-Mills:

它又称为规范场理论,由物理学家杨振宁和R.L.米尔斯在1954年首先提出来的。是研究自然界四种相互作用(电磁、弱、强、引力)的基本理论,量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在实验室中得到证实,但没能在数学上严格的方程没有已知的解。

 

纳卫尔-斯托可方程Navier-Stokesequations:

克劳德路易纳维Claude-LouisNavier和乔盖伯利尔斯托克斯命名,是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程,简称N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.纳维建立和1845年由G.G.斯托克斯改进而得名。方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用,能告诉我们液体有多粘。这样,纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡,这在流体力学中有十分重要的意义。

 

P对NP问题 The P versus NP problem:

Steve Cook于1971年提出。“P/NP问题”,这里的P指多项式时间(Polynomial),一个复杂问题如果能在多项式时间内解决,那么它便被称为P问题,这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(Nondeterministic Polynomial),一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决,假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决,也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard,如围棋便是一个NP-hard问题。

 

BSD猜想:

全称贝赫和斯维纳通戴尔猜想Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture。给定一个整体域上的阿贝尔簇,猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数,且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。

 

相关知识:希尔伯特23个数学问题

21世纪七大数学难题


2014-08-19

四色问题,是世界近代三大数学难题之一。

其内容是:“任何一张地图只用4种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示,即“将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

四色地图

在公元1852年,毕业于英国伦敦大学并从事地图着色工作的弗兰西斯 ·格里斯,发现了一个奇怪的现象:无论多么复杂的地图,只要用四种颜色,就可以区分有公共边界的国家和地区。弗兰西斯觉得其中一定有什么奥妙,于是请教其兄佛德雷克。当他绞尽脑汁依然不得要领时,只好请教自己的老师——英国数学家摩根。

摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。他在信中写道希望能证明“如果一张地图,图上任意分成许多部分,要求有共同边界的两部分涂不同颜色,那么只要四种颜色就够了”,要么构造出一个需要五种或更多种颜色的图来。然而,对两者哈密尔顿都没做到。他耗费了整整13心血,终于一筹莫展,抱恨逝去。

又过了13年,一位颇有名望的英国数学家凯莱(Caylaey, 1821~1895)在一次数学年会上把这问题归纳为“四色猜想”。并于1879年,在英国皇家地理会刊的创刊号上,公开征求对“四色猜想”的解答。于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。 (更多…)


2012-04-19

在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块:第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。

 

 

1.  康托的连续统基数问题

1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。

 

 

2.  算术公理系统的无矛盾性

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

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2012-04-13

费马(1601~1665)是法国的一位才华横溢的数学家,但他的本职工作是律师,他利用业余时间研究数学。而且他的研究成果不会公开发表,只是记录在与友人的信件中,或是批录在书中的空白边上。

他阅读了丢番图的《算术》,其中讲了有关勾股定理和不定方程x2 + y2 = z2 的整数解。他在旁边的空白处写上他的发现:当n≥3时,不定方程xn + yn = zn 没有正整数解。但他同时也写到:我确信已经找到了令人惊异的证明,但书边太窄,我无法把它写下。

这引起人们极大的兴趣。费马儿子翻箱倒柜,查遍了他父亲的藏书、遗稿及其他遗物,盼望能找到那个“令人惊异”的证明,却终无所获。许多优秀的数学家也为此付出了巨大的努力,但都以失败告终。人们开始怀疑费马是否充分论证过他的定理,然而,要寻找出一个反例来否定它,即:当n≥3时,不定方程xn + yn = zn 存在正整数解,似乎更加艰难。

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2012-04-13

先重温《尺规作图和作图公法》里的一些规则:

作图公法

在初等几何里,约定无刻度的直尺和圆规这两件作图工具,具有如下三条功能:

(1) 通过两个已知点可作一条直线 (用直尺);

(2) 已知圆心和半径可作一个圆 (用圆规);

(3) 两条已知直线,或一已知直线和一已知圆,或两个已知圆,如其相交,可作出其交点(用直尺和圆规)。

 

几何作图的可能性

如果一个问题能用尺规作出,那么不论解法如何复杂,都是由两种手续陆续合成的,即

  1. 过两点作直线;
  2. 已知中心和半径作圆。

即尺规作图无非就是看:能否通过无刻度的直尺和圆规,经过有限次的步骤,求出题目所要求的一些特定的“点”!由这些“点”来确定相对位置的直线和具体长度的线段。对于几何三大问题中的“化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆”,我们假定一已知圆的半径是1,那它的面积就是π,那我们就是要求一条长π1/2的线段;而对于“三等分任意角”,则是要对任意角都能求出两个点,使它们分别和角点相连,得出两条直线;最后对 “倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍”的问题,假定元立方体的边长为1,无非是要求一条长倍立方的线段。

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2012-04-13

几何三大问题是:

1.  化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆

2.  三等分任意角

3.  倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍

 

 

这三个古老的几何作图问题,其历史可以追溯到相当久远的年代,看起来好像很简单,但真正做出来却很困难。不准有多少数学家和爱好者为其费了多少心思,然而最后证明它们都不可能用尺规作图法经有限步骤完成。

 

三大难题的来源与故事

1. 化圆为方

阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日、月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光。正是他出色的研究成果给他带来了不幸,在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦。灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头。由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱。

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2012-04-13

哥德巴赫猜想是世界三大数学名题之一,哥德巴赫(Golebach, 1690~1764)是德国数学家,他在做了大量的尝试后发现:任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,亦可以讲:任何不小于6的偶数,都是两个奇质数之和;任何不小于9的奇数,都是三个奇质数之和

 

但他本人却无法做出证明,就写信给欧拉并请他做出证明。欧拉经过对大量的数进行研究,坚信这是正确的,可连欧拉也无法做出证明来,这就成了举世闻名的哥德巴赫猜想。欧拉把它归纳成——任何大于2的偶数,都可以表示成两个质数的和

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5 = 3 + 7

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 5 + 11 = 3 + 13

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11

24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13

26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13

28 = 5 + 23 = 11 + 17

30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17

32 = 3 + 29 = 13 + 19

34 = 3 + 31 = 5 + 29 = 11 + 23 = 17 + 17 (更多…)