几何 | 玄数

2017-08-20

《几何三大问题(历史来源)》中阐述了“化圆为方”的来历,也在《几何三大问题(解决)》中解释了不可能的原因:π是一无理数,√π无法用尺规作图来完成。

那假如我们跳出尺规作图这个圈子呢?

《尺规作图和作图公法》中的第16条:作两条已知线段a、b的比例中项(即 a: x = x : b),可知所求的线段满足x2 = ab。若能够使线段a、b的乘积刚好是π,不就可以求出x来了吗?

古代几何学家梁拉多达维奇用来一种令人拍案叫绝的方法:先作一个直圆柱,用已知圆作它的底面,已知圆半径的一半做它的高,然后把这个圆柱测放在平面上滚一周,得到一个长方形。
化圆为方 squaring the circle

 

这个长方形面积就等于已知圆的面积,最后作一正方形,使之面积等于把长方形,便可解决
化圆为方 squaring the circle

化圆为方——非尺规作图


2017-02-28

科赫雪花 Koch snowflake
把等边三角形的每一边三等分,以中间的一段为边长,向外作等边三角形,并将中间的这一段移去。不断的重复此步骤,便可得到一个美丽的雪花曲线图案。此图案有个几何名称:科赫曲线Koch curve / Koch snowflake。

这么可爱的曲线怎么用程序绘制出来呢?现介绍javascripte在Html5 Cavas上的编程。
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2016-01-28

直角边长是4:3的最大直角三角形

在矩形ABCD内, △APQ与△MNP都是直角边长为4:3的直角三角形, 而MP<AP, AP过端点A, 所以最大的直角三角形必过其中的一个端点.

直角边长是4:3的最大直角三角形

(1)   当矩形的AD/AB 为一个足够大的值时,Q点在AD边上,现求这个值
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2015-02-21

如何尺规作图作正五边形?
正五边形 right pentagon

  1. 在⊙O中取一直径MN,作一直线OA⊥MN交⊙O于点A
  2. 取半径ON的中点P(作ON的垂直平分线)
  3. 连接AP,以P为圆心,|AP|为半径作一圆弧交OM于点Q,连接AQ,则|AQ|即为正五边形的边长
  4. 以|AQ|为半径作圆弧与⊙O相交于四点B、C、D、F ,则ABCDF即为所求的正五边形

 

证明:

设⊙O的半径为r,由《正多边形、圆的周长、圆周率π》知正五边形的边长为 2r*sin(π/5)。根据上述第3点“|AQ|即为正五边形的边长”,即要证 AQ = 2r*sin(π/5)

 

(1)在等腰△APQ中,AP = PQ。由 余弦定理 得,

余弦定理

 

(2)证2rsin(π/5)

即证

sin(π/5)

作一等腰△ABC,∠A =36o,∠B=∠C =72o,作∠B的角平分线BD交AC于点D。设BC长为a,AB、AC长均为b。
等腰△
∵                                 ∠ABD = ∠DBC = 1/2∠ABC = 36o , ∠BDC = 180 o – ∠DBC – ∠C = 72o

∴               ∠A = ∠ABD,∠BDC = ∠C

∴               AD = BD = BC = a

余弦定理
cosA =

∵               △ABC ∽ △ BDC

∴               CD = a2/b = b – a, 由此得方程

b2 - ab - a2 = 0

∵               ∠A =36o

∴               cosA > 0

sin(π/5)

由此得证

正五边形的画法,含证明


2015-02-05

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

 

相关知识:正多边形、圆的周长、圆周率π

圆周率π小数点后1000位


2014-10-04

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形Symmetric figure),这条直线就是它的对称轴(Axis of Symmetry)。我们也可以说这个图形关于这条直线对称。
symmetric figure
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2014-10-01

中国结

中国结

 

 

剪纸、窗花

窗花
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2014-08-27

1. 三角形的三条角平分线相交于一点. 这交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心

三角形圆心 triangle angle bisector

图(1),AD、BE、CF 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的角平分线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

分析:如图(2),设AD、BE 相交于点O,如果直接证明CF也经过点O,会比较困难。反过来,假设CF’是经过点O的随意一条线段,但CF’平分了∠C,也即∠1 = ∠2,那么CF’也就是∠C的角平分线了,那么CF与F’是同一天线段。

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’,过点O作OL⊥BC,OM ⊥AC,ON⊥AB
∵         AD平分∠A,BE平分∠B
∴         OM = ON, ON = OL
∴         OL = OM
∴         Rt△OLC ≌ Rt△OMC
∴        ∠1 = ∠2
∴        CF’ 是∠C的角平分线
∴        CF’与CF重合,即CF’是∠C的角平分线
∴        AD、BE、CF 相交于一点

 

 

2.  三角形的三条中线相交于一点. 这交点叫重心.

三角形重心 triangle median

图(3),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的中线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         BD = DC,  AE = EC
∴          S1 = S2,  S3 = S4
.             S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6        ( 1 )
.             S4 + S2 + S3 = S1 + S5 + S6        ( 2 )
.             ( 1 ) – ( 2 ) 得 S1 = S4
∴          S1 = S2 = S3 = S4
∵          S6 : SAOC = OF’ : OC,  S5 : SBOC = OF’ : OC
∴          S6 : SAOC = S5 : SBOC
∵         SAOC = S1 + S2,  SBOC = S3 + S4
∴         SAOC = SBOC
∴          S6 = S5
∴         AF’ = BF’
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的中线
∴          AD、BE、CF 相交于一点

 

 

3.  三角形的三条高相交于一点. 这交点叫垂心.

三角形垂心 triangle high line

图(5),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的高
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         AD⊥BC,  BE⊥AC
∴         A、E、D、B四点共圆,E、O、D、C四点共圆
∴         在圆AEDB中,∠1 = ∠2;  在圆EODC中,∠2 = ∠3
∴         ∠1 = ∠3
.            ∠F’OB 与∠EOC 是对顶角
∴         ∠BF’O = ∠OEC = 90o
∴         CF’⊥AB
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的高
∴         AD、BE、CF 相交于一点

 

 

4.  三角形的三条垂直平分线(中垂线)相交于一点. 这交点叫外心,即外接圆圆心.

三角形外心 triangle perpendicular line

图(7),DL、EM、FN 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的垂直平分线
求证:DL、EM、FN 相交于一点

证明:设DL、EM 相交于点O,过点O作OF’⊥AB于点F’
∵         OD⊥BC,  BD = DC;  OE⊥AC,  AE = EC
∴         OB = OC,  OA = OC
∴         OB = OA
∵         OF’⊥AB
∴         AF’ = BF’
∴          OF’与NF重合,即OF’是AB边上的垂直平分线
∴         DL、EM、FN相交于一点

三角形的三条角平分线、中线、高、垂直平分线相交于一点