尺规作图 | 玄数

2017-08-20

《几何三大问题(历史来源)》中阐述了“化圆为方”的来历,也在《几何三大问题(解决)》中解释了不可能的原因:π是一无理数,√π无法用尺规作图来完成。

那假如我们跳出尺规作图这个圈子呢?

《尺规作图和作图公法》中的第16条:作两条已知线段a、b的比例中项(即 a: x = x : b),可知所求的线段满足x2 = ab。若能够使线段a、b的乘积刚好是π,不就可以求出x来了吗?

古代几何学家梁拉多达维奇用来一种令人拍案叫绝的方法:先作一个直圆柱,用已知圆作它的底面,已知圆半径的一半做它的高,然后把这个圆柱测放在平面上滚一周,得到一个长方形。
化圆为方 squaring the circle

 

这个长方形面积就等于已知圆的面积,最后作一正方形,使之面积等于把长方形,便可解决
化圆为方 squaring the circle

化圆为方——非尺规作图


2015-02-21

如何尺规作图作正五边形?
正五边形 right pentagon

  1. 在⊙O中取一直径MN,作一直线OA⊥MN交⊙O于点A
  2. 取半径ON的中点P(作ON的垂直平分线)
  3. 连接AP,以P为圆心,|AP|为半径作一圆弧交OM于点Q,连接AQ,则|AQ|即为正五边形的边长
  4. 以|AQ|为半径作圆弧与⊙O相交于四点B、C、D、F ,则ABCDF即为所求的正五边形

 

证明:

设⊙O的半径为r,由《正多边形、圆的周长、圆周率π》知正五边形的边长为 2r*sin(π/5)。根据上述第3点“|AQ|即为正五边形的边长”,即要证 AQ = 2r*sin(π/5)

 

(1)在等腰△APQ中,AP = PQ。由 余弦定理 得,

余弦定理

 

(2)证2rsin(π/5)

即证

sin(π/5)

作一等腰△ABC,∠A =36o,∠B=∠C =72o,作∠B的角平分线BD交AC于点D。设BC长为a,AB、AC长均为b。
等腰△
∵                                 ∠ABD = ∠DBC = 1/2∠ABC = 36o , ∠BDC = 180 o – ∠DBC – ∠C = 72o

∴               ∠A = ∠ABD,∠BDC = ∠C

∴               AD = BD = BC = a

余弦定理
cosA =

∵               △ABC ∽ △ BDC

∴               CD = a2/b = b – a, 由此得方程

b2 - ab - a2 = 0

∵               ∠A =36o

∴               cosA > 0

sin(π/5)

由此得证

正五边形的画法,含证明


2013-09-05

2009南昌 —— 四、解答题:22(8分)

如图,已知线段 是 的中点,直线 于点 ,直线 于点 ,点 是 左侧一点, 到 的距离为
(1)作出点 关于 的对称点 ,并在 上取一点 ,使点 、 关于 对称;
(2) 与 有何位置关系和数量关系?请说明理由.

 

2008广州 —— 三、解答题:23(12分)

如图9,射线AM交一圆于点B、C,射线AN交该圆于点D、E,且
(1)求证:AC=AE
(2)利用尺规作图,分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线,两线交于点F(保留作图痕迹,不写作法)求证:EF平分∠CEN

 

2007吉林 —— 三、解答题:22(8分)

图①是等腰梯形ABCD,其中AD∥BC,AB=DC.图②是与图①完全相同的图形.
(1)请你在图①、图②的梯形ABCD中各画一个与△ABD全等但位置不同的三角形,使三角形的各顶点在梯形的边(含顶点)上;
(2)选择(1)中所画的一个三角形说明它与△ABD全等的理由.

 

2006江苏扬州 —— 三、解答题:22(12分)

如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2);
(2)在第二象限内的格点上画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是 , △ABC的周长是 (结果保留根号);
(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.

 

2005广西玉林 —— 八、解答题:28(12分)

如图(1),AB是⊙O的直径,射线AT⊥AB,点P是射线A T上的一个动点(P与A不重合),PC与⊙O相切于C,过C作CE⊥AB于E,连结BC并延长BC交AT于点D,连结PB交CE于F.
(1)请你写出PA、PD之间的关系式,并说明理由;
(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分,并加以证明;
(3)设过A、C、D三点的圆的半径是R,当CF= R时,求∠APC的度数,并在图(2)中作出点P(要求尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).

 

2004广东 —— 三、解答题:12(6分)

下图是由一个圆,一个半圆和一个三角形组成的图形,请你以直线AB为对称轴,把原图形补成轴对称图形.(用尺规作图,不要求写作法和证明,但要保留作图痕迹)

 

2003 南京 —— 六、解答题:29(6分)

只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图:
(1)在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴:
      ①量出底边BC的长度,将线段BC二等分,即画出BC的中点D;
     ②画直线AD,即画出等腰三角形ABC的对称轴。
(2)在图2中画∠AOB的对称轴,并写出画图的方法。

历年数学中考大题 —— 作图


2012-01-13

1. 尺规作图

 同样一个作图题,由于使用工具的不同,可能作得出图形,也可能作不出图形。在传统的初等几何里,限用无刻度的直尺Ruler和圆规Compass两件作图工具,经过有限次手续,可以完成的作图,叫做尺规作图,或称规矩作图、初等几何作图.
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