三角形 | 玄数

2016-01-28

直角边长是4:3的最大直角三角形

在矩形ABCD内, △APQ与△MNP都是直角边长为4:3的直角三角形, 而MP<AP, AP过端点A, 所以最大的直角三角形必过其中的一个端点.

直角边长是4:3的最大直角三角形

(1)   当矩形的AD/AB 为一个足够大的值时,Q点在AD边上,现求这个值
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2014-08-27

1. 三角形的三条角平分线相交于一点. 这交点叫做三角形的内心 Incenter,即内切圆圆心

三角形圆心 triangle angle bisector

图(1),AD、BE、CF 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的角平分线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

分析:如图(2),设AD、BE 相交于点O,如果直接证明CF也经过点O,会比较困难。反过来,假设CF’是经过点O的随意一条线段,但CF’平分了∠C,也即∠1 = ∠2,那么CF’也就是∠C的角平分线了,那么CF与F’是同一条线段。

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’,过点O作OL⊥BC,OM ⊥AC,ON⊥AB
∵         AD平分∠A,BE平分∠B
∴         OM = ON, ON = OL
∴         OL = OM
∴         Rt△OLC ≌ Rt△OMC
∴        ∠1 = ∠2
∴        CF’ 是∠C的角平分线
∴        CF’与CF重合,即CF’是∠C的角平分线
∴        AD、BE、CF 相交于一点

 

 

2.  三角形的三条中线相交于一点. 这交点叫重心 Center of Gravity.

三角形重心 triangle median

图(3),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的中线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         BD = DC,  AE = EC
∴          S1 = S2,  S3 = S4
.             S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6        ( 1 )
.             S4 + S2 + S3 = S1 + S5 + S6        ( 2 )
.             ( 1 ) – ( 2 ) 得 S1 = S4
∴          S1 = S2 = S3 = S4
∵          S6 : SAOC = OF’ : OC,  S5 : SBOC = OF’ : OC
∴          S6 : SAOC = S5 : SBOC
∵         SAOC = S1 + S2,  SBOC = S3 + S4
∴         SAOC = SBOC
∴          S6 = S5
∴         AF’ = BF’
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的中线
∴          AD、BE、CF 相交于一点

 

 

3.  三角形的三条高相交于一点. 这交点叫垂心 Orthocenter

三角形垂心 triangle high line

图(5),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的高
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         AD⊥BC,  BE⊥AC
∴         A、E、D、B四点共圆,E、O、D、C四点共圆
∴         在圆AEDB中,∠1 = ∠2;  在圆EODC中,∠2 = ∠3
∴         ∠1 = ∠3
.            ∠F’OB 与∠EOC 是对顶角
∴         ∠BF’O = ∠OEC = 90o
∴         CF’⊥AB
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的高
∴         AD、BE、CF 相交于一点

 

 

4.  三角形的三条垂直平分线(中垂线)相交于一点. 这交点叫外心 Circumcenter,即外接圆圆心.

三角形外心 triangle perpendicular line

图(7),DL、EM、FN 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的垂直平分线
求证:DL、EM、FN 相交于一点

证明:设DL、EM 相交于点O,过点O作OF’⊥AB于点F’
∵         OD⊥BC,  BD = DC;  OE⊥AC,  AE = EC
∴         OB = OC,  OA = OC
∴         OB = OA
∵         OF’⊥AB
∴         AF’ = BF’
∴          OF’与NF重合,即OF’是AB边上的垂直平分线
∴         DL、EM、FN相交于一点

 

 

三角形的三条角平分线、中线、高、垂直平分线相交于一点


2012-05-24

1.   已知底边和高(最基本的公式)

设底边长为a,高为h,把三角形翻转、平移相接后得到一个平行四边形,作垂线,把小的直角三角形平移后可得到一个矩形。矩形的面积是 ah,那么三角形的面积就是矩形面积的一半。

这就是最基本的三角形面积公式,以下的所有求三角形面积公式都是由它引申出来的。

 

 

2.   已知两边和它们的夹角(结合三角函数

两边和夹角
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2011-11-16

similar triangles

1.  有两组角对应相等,而边不相等的三角形称为相似三角形(Similar Triangles),记作:△ABC ∽ △A’B’C’

如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等:∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’,对应边的比相等,把对应边的比称为相似比(Similarity Radio)。如果夹边对应相等,那就是全等三角形

 
2.  如何得到相似三角形? 作一直线平行于其中的一边,便可以得到。两直线平行 →   同位角相等

similar triangles

平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段比相等。

(平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等)

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2011-11-15

 1.  三角形的中位线平行于三角形的第三边,而且等于第三边的一半

triangle middle line

如图,蓝色的线段是中位线,DE // BC,DE = ½BC;  DF // AC,DF = ½AC; EF // AB,EF = ½AB

 

 

2.  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形

right angle triangle

 

 

3.  三角形的三条角平分线相交于一点

triangle angle bisector

 

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2011-11-15

congruent triangles

1.  能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(Congruent Triangles),记作:△ABC ≌ △A’B’C’

2.   全等三角形的对应角相等:∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’;
对应边相等:AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’

3.  判断三角形全等的法则:

  • 三边对应相等(SSS)
  • 两边和它们的夹角对应相等(SAS)
  • 两角和它们的夹边对应相等(ASA)
  • 两角和其中一个角的对边对应相等(AAS)
  • 斜边和一条直角边对应相等(HL)

 

下面的各图形中,分别有几种、几对全等三角形? (更多…)


2011-11-15

Angle sum of triangle

证法(一):  设 AB、AC 的中点为 E、F,连接 EF,分别过E、F做BC 的垂线,与BC相交于G、H

∵   △AEF沿EF向下翻转得到△AEO,由E、F是AB、AC 的中点可知O点必然落在BC上,△BEG沿EG向右翻转以及△CFH 沿FH向左翻转所得的全等三角形必然与△OEG、△OFH重合

∴    Rt△BEG ≌ Rt△OEG, Rt△CFH ≌ Rt△OFH

∵            ∠EOG + ∠EOF + ∠FOH = 180o
.              ∠EOG = ∠A;   ∠EOF = ∠B;   ∠FOH = ∠C

∴           ∠A + ∠B + ∠C = 180o

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2011-11-15

三角形两边之差小于第三边

1.  三角形两边之和大于第三边

由“两点距离,线段最短” 可知,在△ABC中,AC + BC > AB 、  AB + AC > BC、   AB + BC > AC

 

2.  三角形两边之差小于第三边

把上述不等式移项,就可得 AC > AB – BC、  AB > BC – AC、   BC > AC – AB

 

triangle
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