线性代数 | 玄数

2017-11-15

1. 向量的点乘Dot Product(数量积,內积)(Inner Product)

(1)平面向量点乘原理

                             a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                     = x1 x2 i2 +(x1y2 + x2 y1i j + y1 y2 j2

∵                               i =(1,0),j =(0,1)

∴                               i2 =(1,0)·(1,0)= 1,

                                   j2 =(0,1)·(0,1)= 1

                                   ij =(1,0)·(0,1)=0

∴                                a · b = x1x2 + y1y2

 

在n维向量中             a · b = ∑ai·bi

两个向量的点乘 = 他们对应分量乘积的和

 

(2)几何解释
向量点乘 dot product
                                            a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                                    = (|a|cosαi + |a|sinαj) · (|b|cosβi + |b|sinβj)

.                                                    = |a|·|b|(cosαcosβ + sinαsinβ)

.                                                    = |a|·|b| cos(α-β)

 

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2017-11-14

1. 投影

(1)光学定义:用光线照射物体,在一平面上得到的影子叫做物体的投影(Projection),照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。

平行投影(Parallel Projection):由平行光线(例如太阳光)所成的投影。

中心投影(Center Projection):由点光源(比如电灯泡)发出的光线所成的投影。

平行投影

(2)向量在轴上的投影数学定义:

设点O及单位向量e决定u轴,任给向量r,作→OM = r,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M’,点M’就是点M在u轴上的投影。向量O M’称为向量r在u轴上的分向量,设→OM’ = λe,则数λ称为向量r在u轴上的投影,记作Prjur或( r )u

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2017-10-08

在《孙子算经》中的鸡兔同笼问题:“今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?” 设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据x只鸡有2x只脚,y只兔又4y只脚,列二元二次方程得

孙子算经

(2) – (1) 得

鸡兔同笼

 

对于一般的方程组,设未知数的系数全互质,例如

equation

(1) 式等号两边乘以7,(2) 式等号两边乘以3,借此来消去x2

equation

(1) 式等号两边乘以5,(2) 式等号两边乘以2,借此来消去x21

equation

 

对一般二元线性方程组

记为二阶行列式 second order determinant

把在4个数中,分两组相乘再相减的数表记为二阶行列式second order determinant。 法则为主对角线 – 副对角线
记为二阶行列式 second order determinant
运用二阶行列式为解二元线性方程组带来了方便:分母记为二阶行列式 second order determinant都是相同的,把系数按原来位置排列;分子用 “=” 右边的数b1,b2替换,xi对应替换的数为a1i,a2i

二阶行列式


2013-03-29

向量的两大要素是大小和方向,其中向量的大小也叫向量的模。

 

1.  向量的模

(1)平面向量的模: a =(x,y),则a的模 | a | = √(x2 + y2norm of vector

 

(2)空间向量的模: r =(x,y,z),则r的模 | r | = √(x2 + y2 + z2)

norm of vector
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2012-05-08

1.   向量的线性运算

(1)平行四边形法则:作一平行四边形OACB,使→OA = a,→OB = b,对角线→OC就是ab的和。
vector addition
(2)加法三角形法则: a + b = →OA + →AB = →OB
vector addition
第二个向量的始点与第一个向量的终点重合,和就是第一个向量的始点指向第二个向量的终点。
vector addition
n个向量相加:第i个向量的始点与第 i – 1 向量的终点重合,和就是第一个向量的始点指向第n个向量的终点。
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2012-01-17

1.   向量

只有大小,没有方向的量,称为数量,如:长度、面积、体积、年龄、身高… …. 既有大小,又有方向的量,叫做向量(Vector)。

向量可以有有向线段表示vector表示。有向线段包含三要素:起点、方向、长度vector:以A为起点、B为终点,在终点处画上箭头→表示方向;vector的长度记为|vector|,它就是线段AB的长度。

向量vector的大小,也就是向量vector的长度 / 模,记为 |vector| 。长度等于1个单位长度的向量,称为单位向量(Unit Vector)。长度为0的向量称为零向量(Zero Vector)。

vector

向量也可以用黑体的小写字母来表示:abc
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