线性代数 | 玄数

2018-08-07

一、下面的三种变换称为矩阵的初等变换

  • 对换两行(列), 记作ri ↔ rj, ci ↔ cj
  • 以数k乘以一行(列)中的所有元素 (k≠0), 记作ri × k,  ci × k
  • 以数k乘以一行(列)中的所有元素, 再加到另一行(列)对应的元素上去, 记作ri + k rj,  ci + k cj

如下图:
初等变换

矩阵的这三种初等变换都是可逆的,把进行了初等变换的矩阵变回原来的状态:

  • ri ↔ rj 的逆变换同为ri ↔ rj, 把这两行在对换一次
  • ri × k的逆变换为ri × (1/k)
  • ri + k rj 的逆变换为 ri – k rj

 

二、由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

(1) 对调两行或两列
elementary matrices
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2018-08-02

1. n阶行列
determinants
n阶行列式

2. DT = D

3. 互换行列式的两行(列),行列式变号

4. 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

5. 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一系数,等于用这数乘以行列式

6. 如果行列式中有两行(列)的元素成比例,则此行列式等于零

7. 如果行列式的某一行(列)是两数之和,则可把它拆分成两个行列式再求和

8. 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后,加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

9. 行列式等于它的任一行(列)个各元素与其对应的代数余子式乘积之和
代数余子式

10. 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零
行列式等于零
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2018-07-23

可以把矩阵A用若干条横线、纵线许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块。矩阵分块的分法有很多
block matrix

现用分块矩阵来证明 |AB| = |A||B|. 设有n阶方阵A、m阶方阵B和行列式D, 其中AB中的数是D的一部分,排列如下
block matrix
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2018-07-07

定义
对于n阶方阵A, 如果存在一个n阶矩阵B,使得AB = BA = E, 则称矩阵A是可逆的,并把B称为A逆矩阵,简称逆阵,记作A-1. 这类似于实数中的逆元a-1, 其实是倒数1/a ( a≠0 ), 是除法运算。所以矩阵的逆也相似进行一种除法运算。
线性变换

若把系数矩阵A, x变量组, y变量组都用矩阵的形式写出来:
系数矩阵

可得 Y = AX

如果换做要用Y来表示X,可记作X = BY。那么X = ?Y呢,即 B = ?
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2018-06-26

一、 矩阵的转置

把矩阵A的行换成同序数的列,得到一个新矩阵,叫做A转置矩阵AT.
矩阵的转置

矩阵的转置满足运算规律

(AT) T = A

(AT + BT) = AT + BT

(kAT) = k AT

(AB) T = BT AT

 

 

二、 方阵的行列式

由n阶方阵A的元素所构成的行列式,称为方阵A的行列式,记作 |A| 或detA.

方阵的行列式满足运算规律

|A T| = |A| ( 行列式形状1 )

|kA| = kn|A|

|Ak| = |A|k

|AB| = |A||B| = |BA|

 

 

三、 对角矩阵

对角矩阵
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2018-06-21

一、 矩阵的加法

两个矩阵A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n, 它们的和记作 A + BA + B = ( aij + bij) m×n. 是一个二元运算。

matrix addition

矩阵加法满足运算规律:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A = ( -aij ) m×n

A + (-A) = 0  (零矩阵,而不是整数0)

A + 0 = A

AB = A + (-B)

 

 

二、 矩阵的数乘

matrix multiplied by a number

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2018-06-13

矩阵
由m×n个数aij ( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n ) 排成的m行n列数表,外加一个括弧,称为m×n矩阵, aij为矩阵A的元. 矩阵可记作A m×n 或 ( aij ) 或 ( aij ) m×n .

 

矩阵与行列式的区别:

  • 行列式外加两竖, 最终求和算出来的是一个数; 而矩阵外加括弧, 是一个数的阵列表.
  • 行列式的行数必须等于列数, 但对于矩阵, 没有这个要求.

 

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, 可记作An. 方阵的行列式记为|A| 或 det(A).

 

只有一行的矩阵, 称为行矩阵, 或行向量:
行向量
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2018-06-08

从一般的二元方程组对应的二阶行列式二阶行列式 second order determinant

 
那是不是所有的n元线性方程组都能如此表示呢?

 
线性方程组

 

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