2018-08-07
一、下面的三种变换称为矩阵的初等变换
- 对换两行(列), 记作ri ↔ rj, ci ↔ cj
- 以数k乘以一行(列)中的所有元素 (k≠0), 记作ri × k, ci × k
- 以数k乘以一行(列)中的所有元素, 再加到另一行(列)对应的元素上去, 记作ri + k rj, ci + k cj
如下图:

矩阵的这三种初等变换都是可逆的,把进行了初等变换的矩阵变回原来的状态:
- ri ↔ rj 的逆变换同为ri ↔ rj, 把这两行在对换一次
- ri × k的逆变换为ri × (1/k)
- ri + k rj 的逆变换为 ri – k rj
二、由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
(1) 对调两行或两列

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分类: 矩阵, 线性代数
标签: 初等变换
2018-08-02
1. n阶行列


2. DT = D
3. 互换行列式的两行(列),行列式变号
4. 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
5. 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一系数,等于用这数乘以行列式
6. 如果行列式中有两行(列)的元素成比例,则此行列式等于零
7. 如果行列式的某一行(列)是两数之和,则可把它拆分成两个行列式再求和
8. 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后,加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变
9. 行列式等于它的任一行(列)个各元素与其对应的代数余子式乘积之和

10. 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零

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分类: 矩阵, 线性代数, 行列式
2018-07-23
可以把矩阵A用若干条横线、纵线许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块。矩阵分块的分法有很多

现用分块矩阵来证明 |AB| = |A||B|. 设有n阶方阵A、m阶方阵B和行列式D, 其中A、B中的数是D的一部分,排列如下

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分类: 矩阵, 线性代数
标签: 矩阵分块
2018-07-07
定义
对于n阶方阵A, 如果存在一个n阶矩阵B,使得AB = BA = E, 则称矩阵A是可逆的,并把B称为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A-1. 这类似于实数中的逆元a-1, 其实是倒数1/a ( a≠0 ), 是除法运算。所以矩阵的逆也相似进行一种除法运算。

若把系数矩阵A, x变量组, y变量组都用矩阵的形式写出来:

可得 Y = AX
如果换做要用Y来表示X,可记作X = BY。那么X = ?Y呢,即 B = ?
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分类: 矩阵, 线性代数
标签: 伴随矩阵, 逆矩阵, 非奇异矩阵
2018-06-26
一、 矩阵的转置
把矩阵A的行换成同序数的列,得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵AT.

矩阵的转置满足运算规律
(AT) T = A
(AT + BT) = AT + BT
(kAT) = k AT
(AB) T = BT AT
二、 方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式,称为方阵A的行列式,记作 |A| 或detA.
方阵的行列式满足运算规律
|A T| = |A| ( 行列式形状1 )
|kA| = kn|A|
|Ak| = |A|k
|AB| = |A||B| = |BA|
三、 对角矩阵

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分类: 矩阵, 线性代数
标签: 三角矩阵, 反对称矩阵, 对称矩阵, 对角矩阵, 方阵的行列式, 矩阵的转置
2018-06-21
一、 矩阵的加法
两个矩阵A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n, 它们的和记作 A + B。A + B = ( aij + bij) m×n. 是一个二元运算。

矩阵加法满足运算规律:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
–A = ( -aij ) m×n
A + (-A) = 0 (零矩阵,而不是整数0)
A + 0 = A
A – B = A + (-B)
二、 矩阵的数乘

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分类: 矩阵, 线性代数
标签: 矩阵的乘法, 矩阵的运算
2018-06-13

由m×n个数aij ( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n ) 排成的m行n列数表,外加一个括弧,称为m×n矩阵, aij为矩阵A的元. 矩阵可记作A m×n 或 ( aij ) 或 ( aij ) m×n .
矩阵与行列式的区别:
- 行列式外加两竖, 最终求和算出来的是一个数; 而矩阵外加括弧, 是一个数的阵列表.
- 行列式的行数必须等于列数, 但对于矩阵, 没有这个要求.
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, 可记作An. 方阵的行列式记为|A| 或 det(A).
只有一行的矩阵, 称为行矩阵, 或行向量:

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分类: 矩阵, 线性代数
标签: matrices, 矩阵
2018-06-08
从一般的二元方程组对应的二阶行列式
那是不是所有的n元线性方程组都能如此表示呢?

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分类: 线性代数, 行列式
标签: Cramers Rule, 克拉默法则