玄数

一、 矩阵的加法

两个矩阵A = ( a_ij ) _m×n , B = ( b_ij ) _m×n, 它们的和记作 A + B。A + B = ( a_ij + b_ij) _m×n. 是一个二元运算。

矩阵加法满足运算规律：

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

–A = ( -a_ij ) _m×n

A + (-A) = 0  (零矩阵，而不是整数0)

A + 0 = A

A – B = A + (-B)

二、 矩阵的数乘

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由m×n个数a_ij ( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n ) 排成的m行n列数表，外加一个括弧，称为m×n矩阵, a_ij为矩阵A的元. 矩阵可记作A _m×n 或 ( a_ij ) 或 ( a_ij ) _m×n .

矩阵与行列式的区别:

• 行列式外加两竖, 最终求和算出来的是一个数; 而矩阵外加括弧, 是一个数的阵列表.
• 行列式的行数必须等于列数, 但对于矩阵, 没有这个要求.

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, 可记作A_n. 方阵的行列式记为|A| 或 det(A).

只有一行的矩阵, 称为行矩阵, 或行向量:

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从一般的二元方程组对应的二阶行列式

 
那是不是所有的n元线性方程组都能如此表示呢？

 


 

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分类: 线性代数, 行列式 标签: Cramers Rule, 克拉默法则

根据行列式的性质5

把第1行的每个元素拆成自身与n-1个0相加，得

可见，n阶行列式可以转为n-1阶行列式与元素相乘后的求和。从高阶转向低阶，减少了运算量。
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把行列式D中的元素沿着对角线对换，得转置行列式，记作D^T.

性质1  D^T = D.

证明：

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分类: 线性代数, 行列式 标签: 行列式的性质

逆序数

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列P_n，共有n!种不同的排法。在任一排列中，某两个元素排列的次序是前大后小时，就产生了1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

求逆序数有两种方法：

1.  在前面，把比当前数大的个数累加
2.  在后面，把比当前数小的个数累加

如：52143

第一种方法：

• 5：第1个数，不需要计算，τ₁ = 0
• 2：前面比2大的有1个( 5 ) ，τ₂ = 1
• 1：前面比1大的有2个( 5, 2 ) ，τ₃ = 2
• 4：前面比4大的有1个( 5 ) ，τ₄ = 1
• 3：前面比3大的有2个( 5, 4) ，τ₅ = 2

所以逆序总和为：τ= 0 + 1 + 2 + 1 + 2 = 6

第二种方法：

• 5：后面比5小的有4个( 2, 1, 4, 3 )，τ₁ = 4
• 2：后面比2小的有1个( 1 ) ，τ₂ = 1
• 1：后面比1小的有0个，τ₃ = 0
• 4：后面比4小的有1个( 3 )，τ₄ = 1
• 3：最后1个数，不需要计算，τ₅ = 0

所以逆序总和为：τ= 4 + 1 + 0 + 1 + 0 = 6

行列式

定义：把n²个数排成n行n列的数表，得n阶行列式，记作

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分类: 线性代数, 行列式 标签: 行列式, 逆序数

把9个数排成3行3列的数表

称为三阶行列式。

 
每一项都是不同行不同列的三个元素的乘积，即行标、列标中的1,2,3都不再重复。正负号遵循下图，左图取正，右图取负。

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1. 向量的点乘Dot Product（数量积，內积）（Inner Product）

（1）平面向量点乘原理

                             a · b =（x₁i + y₁ j）·（x₂i + y₂ j）

.                                     = x₁ x₂ i² +（x₁y₂ + x₂ y₁）i j + y₁ y₂ j²

∵                               i =（1，0），j =（0，1）

∴                               i² =（1，0）·（1，0）= 1，

                                   j² =（0，1）·（0，1）= 1

                                   ij =（1，0）·（0，1）=0

∴                                a · b = x₁x₂ + y₁y₂

在n维向量中             a · b = ∑a_i·b_i

两个向量的点乘 = 他们对应分量乘积的和

（2）几何解释

                                            a · b =（x₁i + y₁ j）·（x₂i + y₂ j）

.                                                    = (|a|cosαi + |a|sinαj) · (|b|cosβi + |b|sinβj)

.                                                    = |a|·|b|(cosαcosβ + sinαsinβ)

.                                                    = |a|·|b| cos(α-β)

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分类: 向量, 线性代数 标签: 叉乘, 数量积, 点乘, 矢量积