逻辑 | 玄数

2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2017-04-09

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem”。 毕达哥拉斯是公元前500多年的古希腊数学家,由他创立的毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 —— 万物皆数。毕达哥拉斯在一次宴会中,发现了直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

 
毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem
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2012-12-31

法国数学家贝特兰曾在1889年提出一个概率悖论:在圆内作任一弦,其长度超过圆内接正三边形边长a的概率是多少?这一著名悖论被称为贝特兰概率悖论Bertrand’s  paradox)。 

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论。一门学科出现悖论,表明该学科的基础还有不够严谨的地方,但同时也能促使该学科从不够严谨往严谨的方向发展。
下面来看看贝特兰概率悖论中有什么矛盾之处。

(1) P = 1/2

贝特兰概率悖论
在⊙O中,MN是任一直径。分别以M、N为顶点作圆内接正三边形,与直径MN分别相交于P点和Q点。在MN上任取一点H,过H作弦AB⊥PQ,要使弦AB的长大于a,只要H落在线段PQ之中。而|PQ| 刚好是 |MN|的一半。 (更多…)