大师 | 玄数

2013-08-29
  • 1850—1891年, 俄国
  • 世界上第一位女数学家

索菲•柯瓦列夫斯卡娅 Sofia Kovalevskaya

被称为“科学幻想小说之父”的著名法国小说家儒勒•凡尔纳(Jules Verne)曾经讲过这样的一个笑话来取笑妇女:“一个女人走过苹果树下,看到了一个苹果掉下来。她最先想到的是:这是一个可以吃的东西。”在他看来女人不会像牛顿那样能有伟大的发现、发明和创造。

妇女是否无能和无所作为呢?让我们看看一个19世纪的女性,她怎么样争取享受高等教育,怎样在数学上研究,而成为那时代最卓越的数学家之一。

公元1850年1月15日索菲•柯瓦列夫斯卡娅生于莫斯科。索菲的童年和少年时代是在大卢基市的波里宾诺田庄度过的,八岁时她的家庭教师约瑟夫•马莱维奇发现索菲的数学学得特别好,而且善于创造自己的独特方法。到少年时期,索菲的进步更快了,常常自学一些较高深的数学知识。例如她可以自学所有的三角函数公式。

苏菲在她的《童年回忆》一书中写道:“当我15岁时,从彼得堡的著名数学教师A.N.斯特兰诺留勃斯基(Strannoliub-sky)那儿学习微积分,他对于我的迅速明白和消化一些数学名词和导数的一些概念大为惊奇,好像我以前早就知道它们了。我还记得这是当时他的看法。事实上是当他解释那些概念时,我马上很鲜明的记起了那些正是我以前在‘糊墙纸’上所见过的,但当时意思还不了解的问题,而这些东西我早就熟悉了。”

苏菲长大了很想获得完全的高等教育。可是当时俄国高等学校的大门对女子是紧闭着的。只有西欧还有一些大学的大门肯为女子而开放——到外国去!这就是苏菲的想法。可是专横的父亲却不愿意女儿从他身边飞走,对于她的请求听也不愿意听。

索菲为了摆脱家庭的束缚和争得出国的机会,她采取一种“假婚”的办法,选择一个志同道合也想出国求学的男子,形式上结成夫妻,这样就可以不受家庭的约束一起出国了。她与她的“丈夫”弗拉基米尔•柯瓦利夫斯基:一位莫斯科大学古生物系毕业生就在这种情况下于1868年9月举行了“婚礼”,第二年春天索菲和索菲的姐姐安娜及弗拉基米尔3人一起离开彼得堡到德国求学。

苏菲经过了一些周折,进入了德国最古老的和受尊敬的大学之一——海德堡大学里。她在三年期间修毕了数学、物理、化学和生理学等大学教程。她听到了一些著名学者的课,如:在电磁学上很有贡献的物理学家基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)和赫姆赫兹(H.L.F.Von Helmholtz)。

索菲在物理学家基尔霍夫教授的推荐下,通过了一道道难关,终于跨进了海德堡大学的校门。她抛弃了贵族家庭舒适豪华的生活,到陌生的异国城市过着艰苦的求学生涯。1870年8月索菲到了柏林,经过严格考核,魏尔斯特拉斯(柏林大学教授)教授意识到索菲是一个难得的数学天才。但当时柏林大学拒绝招收女学生,教授深深同情索菲对科学的抱负,决定在自己家里单独教授索菲。在魏尔斯特拉斯的精心培养下, 索菲受到了这位数学大师的良好教育,她勤奋学习,充分发挥她的数学才能,在柏林大学学习四年中,她不仅完成了所有大学课程,而且完成了三篇重要的数学论文,这时她年仅23岁。索菲的这三篇论文,每一篇都足以使得她获得“数学家”称号。1874年,德国数学中心哥廷根大学授予她“最高荣誉的数学博士”学位,索菲成为历史上第一名数学学科的女博士。

1886年索菲出席哥本哈根国际科学家代表大会。在此期间,一百多年来悬而未决的“数学水妖”难题占据了她整个身心。“数学水妖”问题就是刚体绕定点的转动问题,由于它在理论上和应用上的重要性,为了在该问题上的研究有重大突破,法国科学院曾以“鲍廷奖金”三次悬赏。1888年当法国科学院再次宣布新的悬赏时,索菲以艰苦的劳动,攻破了这道难题,获得5000法郎的奖金,一位妇女获得如此巨大的成功,整个欧洲科学界为之轰动。

  索菲这颗科学界熠熠闪光的新星,受到世界各国科学家的仰慕,在俄国国内引起了巨大反响,但沙皇政府却不肯让她回国工作。在契比雪夫等一批知名学者的努力下,1889年11月俄国科学院物理学部正式通过了索菲•柯瓦列夫斯卡娅为通讯院士。这是世界历史上第一个获得科学院院士的女科学家。

索菲•柯瓦列夫斯卡娅 Sofia Kovalevskaya


2013-08-29
  • 1826—1866年, 德国
  • 把数学向前推进了几代人的时间

黎曼  Riemann

黎曼的一生是短暂的,不到40个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。我们之所以要介绍黎曼,是因为尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分,并且给出了定积分的论述,但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他,人们把积分和称为黎曼和,把定积分称为黎曼积分。

德国数学家希尔伯特曾指出:“19世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。”非欧几何的建立所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的理解”。在欧几里德几何中:三角形内角和为180度;第五公理——平行公里:过直线外一点,有且只有一直线与已知直线平行。 黎曼主要研究几何空间的局部性质,他采用的是微分几何的途径,这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚,从维度出发,建立了更一般的抽象几何空间。

1854年黎曼提出了一种新的几何学。黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格,对全体教员作了一次演讲,该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中,他对所有已知的几何,包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要,并提出一种新的几何体系,后人称为黎曼几何。

在这种几何学中,黎曼把欧氏几何的第五公设改为“过平面上一已知直线外一点没有直线与原直线平行”。由此可推出“三角形内角和大于π”的命题,更重要的是他把欧几里得三维空间推广到n维空间,从而得到一种新的几何学--黎曼非欧几何学。他的工作远远超过前人,他的著作对19世纪下半叶和20世纪的数学发展都产生了重大的影响。他不仅是非欧几何的创始人之一,而且他的研究成果为50年后爱因斯坦的广义相对论提供了数学框架。

19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立,它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前,柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究,而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。

1851年,黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文,后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章,对其博士论文中思想的做了进一步的阐述,一方面总结前人关于单值解析函数的成果,并用新的工具予以处理,同时创立多值解析函数的理论基础,并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人,而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的,柯西和黎曼的思想被融合起来,维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。

黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外,还以其对19世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。

柯西曾证明连续函数必定是可积的,黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上,柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信,而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例,最终讲清连续与可微的关系。

黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念,给出了这种积分存在的必要充分条件。

黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数,推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件,即关于三角级数收敛的黎曼条件,得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明:可以把任一条件收敛的级数的项适当重排,使新级数收敛于任何指定的和或者发散。

黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献,他也十分关心物理及数学与物理世界的关系,他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人,他试图将引力与光统一起来,并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。

不过,黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认,一方面由于他的思想过于深邃,当时人们难以理解,如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受,直到广义相对论出现才平息了指责;另一方面也由于他的部分工作不够严谨,如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时,滥用了狄利克雷原理,曾经引起了很大的争议。

黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展,许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理,在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。

黎曼 Riemann


2013-08-18
  • 1802—1829年,挪威
  • 英年早逝,但却为他起了最高数学奖

阿贝尔  Abel
翻开近世数学的教科书和专门著作,阿贝尔这个名字是屡见不鲜的:阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性,等等。很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者,只活了短短的27年。尤其可悲的是,在他生前,社会并没有给他的才能和成果以公正的承认。

自16世纪以来,随着三次、四次方程陆续解出,人们把目光落在五次方程的求根公式上,然而近300年的探索一无所获,阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式,解决了这个世纪难题,在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像,这是一个大无畏的青年的形象,他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。

在中学的最后一年,阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题,不久便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方,但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来,于是给了阿贝尔一些可贵的忠告,希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时,阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击,把他推上了正确的途径,使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解,而那已经是他十九岁时的事情了。

后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要,便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷,为了减少印刷费,他把结果紧缩成只有六页的小册子。 

阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家,包括德国被称为数学王子的高斯,希望能得到一些反应。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。但看来高斯并未重视这篇论文,因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。

椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪,从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分,这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性,椭圆积分就是如此得名的。19世纪初,椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得(A.M.Legen-dre,1752-1833)。他研究这个题材长达40年之久,他从前辈工作中引出许多新的推断,组织了许多常规的数学论题,但他并没有增进任何基本思想,他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔,使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色,开拓了“柳暗花明”的前途。

阿贝尔高屋建瓴,势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质,找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K,证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理,借助于这一定理,又将椭圆函数拓广到整个复域,并因而发现这些函数是双周期的,这是别开生面的新发现;他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分,并获得了这方面的一个关键性定理,即著名的阿贝尔基本定理,它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数,则是不久后由黎曼(B.Riemann,1826-1866)首先提出并加以深入研究的。事实上,阿贝尔发现了一片广袤的沃土,他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕,用埃尔米特(Hermite)的话来说,阿贝尔留下的后继工作,“够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。

1826年7月,阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家,他们全都彬彬有礼地接待他,然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言,然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中,究竟放在什么地方,竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世,失踪的论文原稿才重新找到,而论文的正式发表,则迁延了12年之久。

但阿贝尔最终毕竟还是幸运的,他回挪威后一年里,欧洲大陆的数学界渐渐了解了他。可是最终的还是惋惜:阿贝尔病情恶化,1829年4月6日晨,这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。死后两天,克雷勒的一封信寄到,告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。损失是难以估计的,如果阿贝尔活到应的的寿命,他又将要做出多少新的贡献啊!

为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年,挪威政府于2003年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项的奖金高达80万美元,相当于诺贝尔奖的奖金,是世界上奖金最高的数学奖。

在此之前,国际数学界的最高荣誉是从1936年开始颁发的菲尔茨奖。菲尔茨奖每四年一度,获奖者取得得奖成果时的年龄不得超过40岁,到目前为止仅有42位数学家获此殊荣,奖金额却只有阿贝尔奖的二百分之一——1500美元。

阿贝尔 Abel


2013-08-18
  •  1789—1857年, 法国
  • 数学分析严格化的开拓者

柯西  Cauchy

柯西在幼年时,他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室,并且在那里指导他进行学习,因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。

柯西于1802年入中学。在中学时,他的拉丁文和希腊文取得优异成绩,多次参加竞赛获奖;数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校,在那里主要学习数学和力学;1807年考入桥梁公路学校,1810年以优异成绩毕业,前往瑟堡参加海港建设工程。

柯西怀着严格化的明确目标,为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系。他说:“至于方法,我力图赋予……几何学中存在的严格性,决不求助于从代数一般性导出的推理。这种推理……只能认为是一种推断,有时还适用于提示真理,但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义,“消除了所有不确定性”,并说:“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。”

他的主要贡献为:

(一)单复变函
数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。

现代复变函数理论发端于他的工作。首先,他证明了复数的代数与极限运算的合理性,定义了复函数的连续性;他给出了柯西-黎曼方程,定义了复函数沿复域中任意路径的积分,并得到重要的积分定理:在函数没有奇异性的区域内,积分仅仅依赖于路径的端点,由此导出了著名的柯西积分公式;柯西定义了复函数在极点处的留数,给出了计算留数的公式,建立了留数定理;他还得到了函数的幂级数展开式,提出了幂级数的收敛半径这个概念,得到了通项系数的换算估计式(即柯西不等式)。

(二)分析基础
柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析,简称分析)以来,这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展,必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。他是经典分的奠基人之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。

关于微积分的原理,他的概念主要是正确的,其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的,他首先准确地证明了泰勒公式,他给出了级数收敛的定义和一些判别法。

柯西率先定义了级数的收敛、绝对收敛、序列和函数的极限,并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性的柯西准则,他定义了上、下极限,并证明了收敛性;他最先使用极限符号。柯西还建立了连续函数的概念,并强调微商是一个极限.他用和的极限给定积分下了第一个合适的定义。

(三)常微分方程
柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前,没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法,即柯西—利普希茨法,逐渐逼近法和强级数法,实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数,可以证明逼近步骤收敛,其极限就是方程的所求解。

(四)其他贡献
虽然柯西主要研究分析,但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科,他在天文和光学方面的成果是次要的,可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外,他在数学中其他贡献如下:
1.分析方面:在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。
2.几何方面:开创了积分几何,得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。
3.代数方面:首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式,首先明确提出置换群概念,并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”,即格拉斯曼的外代数原理。

柯西 Cauchy


2013-08-15
  • 1777—1855年,德国
  • 数学王子

高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

高斯  Gauss

高斯在15岁时被送进卡罗琳学院,在那里他掌握了希腊文、拉丁文、法文,又学会了代数、几何、微积分,语言学和数学是他最喜欢的两门课程。这里的一切强烈地吸引着这个渴望知识的农村孩子,这是他步入科学殿堂的新起点。

课余时间,高斯常常留连于图书馆中钻研外文和数学。他专心研读了英国的牛顿、法国的拉格朗日、瑞士的欧拉这些大名鼎鼎的数学家的外文原著,他学习但不迷信,对大师们的某些证明有时也不客气地提出挑战。勤奋的学习得到了丰硕的成果,两年后,17岁的高斯发现了数论中的二次互反律。这个问题大数学家欧拉和勒让德都曾研究过,但第一个给出严格证明的是高斯。学院院长为此感到十分荣耀,亲自发给高斯奖状。 (更多…)


2013-07-26
  • 1707—1783年,瑞士
  • 读读欧拉,这是我们一切人的老师

欧拉 Euler
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但在数学上作出伟大贡献,而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外,他的全集有74卷。

欧拉小时候就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过,可小欧拉却读得津津有味,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教。1720年,13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰•伯努利(Johann Bernoulli,1667—1748年)的精心指导。这在当时是个奇迹,曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学,也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。 (更多…)


2013-07-24
  • 1646-1716 年, 德国
  • 微积分的创立者,多产的学者

莱布尼茨 Leibniz
莱布尼茨中奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法,这种努力导致许多数学的发现。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比,他的研究领域及其成果遍及数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史和外交等等。

莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家,父亲弗里德希•莱布尼茨是莱比锡大学的道德哲学教授,母亲凯瑟琳娜•施马克出身于教授家庭,虔信路德新教。莱布尼茨的父母亲自做孩子的启蒙教师,耳濡目染使莱布尼茨从小就十分好学,并有很高的天赋,幼年时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。

莱布尼茨15岁时进入莱比锡大学学习法律,哲学和科学。 (更多…)


2013-07-15
  • 1642 — 1727年, 英国
  • 站在巨人的肩上 ——《自然哲学的数学原理》

牛顿  Newton
少年时的牛顿并不是神童,他资质平常,成绩一般,但他喜欢读书,喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物,并从中受到启发,自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意,如风车、木钟、折叠式提灯等等。

牛顿在中学时代学习成绩并不出众,只是爱好读书,对自然现象由好奇心,例如颜色、日影四季的移动,尤其是几何学、哥白尼的日心说等等。他还分门别类的记读书笔记,又喜欢别出心裁的作些小工具、小技巧、小发明、小试验。

1661年,19岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学院,靠为学院做杂务的收入支付学费,1664年成为奖学金获得者,1665年获学士学位。在这段学习过程中,牛顿掌握了算术、三角,读了开普勒的《光学》,笛卡尔的《几何学》和《哲学原理》,伽利略的《两大世界体系的对话》,胡克的《显微图集》,还有皇家学会的历史和早期的哲学学报等。

此后,因为鼠疫学校停课,牛顿于1665年6月离校返乡。1667年复活节后不久,牛顿返回到剑桥大学。在家乡居住的两年中,牛顿以比此后任何时候更为旺盛的精力从事科学创造,并关心自然哲学问题。他的三大成就:微积分、万有引力、光学分析的思想都是在这时孕育成形的。可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图。 (更多…)