玄数

马林·梅森（Marin Mersenne 1588 ~ 1648）  是法国大数学家笛卡尔的同学，曾致力于寻找质数公式。1644年，他提出：在形如2ⁿ – 1的式子中，存在许多质数。他曾指出以下这些数都是素数：

M₂ = 2² – 1

M₃ = 2³ – 1

M₅ = 2⁵ – 1

M₇ = 2⁷ – 1

M₁₃ = 2¹³ – 1

M₁₇ = 2¹⁷ – 1

M₁₉ = 2¹⁹ – 1

M₃₁ = 2³¹ – 1

M₆₇ = 2⁶⁷ – 1

M₁₂₇ = 2¹²⁷ – 1

M₂₅₇ = 2²⁵⁷ – 1
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分类: 数论 标签: Mersenne primes, 梅森素数

当分子不能把分母除尽时，一定会某一位开始不断地出现循环吗？

• 1/3，第1次的余数就是1，小数从第2位开始循环，1/3 = 0.333 ···
• 1/9，第1次的余数就是1，小数从第2位开始循环，1/9 = 0.111 ···

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分类: 代数, 数的分类, 数论 标签: 循环无限小数

1.  最大公因数

给定两个整数a、b，必有公共的因数，叫做公因数（Common Factor）。其中最大的一个叫做 a、b的最大公因数，记作（a，b）。如：

• 12和48的公因数有：2、4、6、12，其中12最大，所以（12，48）= 12
• 100和150的公因数有：2、5、10、25，其中25最大，所以（100，150）= 25

（1）如果a、b的最大公因数是1，称a、b互素。 如：

• 3与7，19与39，100与101；
• 所有的素数都互素

（2）如果 a | b，则（a，b）= a。 如：

• 4 | 8，（4，8）= 4；
• 10 | 20，（10，20）= 10；
• 39 | 117，（39，117）= 39

（3）若a | bc，且（a，b）= 1，则 a | c。 如：

• a = 3，b = 7，c = 6   ——  3 | 7×6，（3，7）= 1   →   3 | 6
• a = 11，b = 17，c = 33   ——  11 | 17×33，（11，17）= 1   →   11 | 33
• 7 = 3，b = 50，c = 49   ——  7 | 50×49，（7，50）= 1   →   7 | 49

（4）设a、b不同时为0，则存在一对整数m、n，使得（a，b）= am + bn。 如：

• （12，48）= 12 = 2×3 + 1×6
• （100，150）= 25 = 1×5 + 2×10
• （39，117）= 39 = 2×7 + 5×5

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分类: 数论 标签: 互素, 公倍数, 公因数, 最大公因数, 最小公倍数

1.   素数（Prime Number）

仅有1和它本身两个正因数的正整数，叫做素数，也叫质数。如：3，7，23。

设p为素数，若 p | ab，则p | a，或p | b。 如：

p = 2，a = 4，b = 7   ——  2 | 4×7   →   2 | 4

p = 7，a = 22，b = 21   ——  7 | 22×21   →   7 | 21

2.   合数（Composite Number）

含有三个或以上正因数的正整数，叫做合数。如：

4 = 1×4 = 2×2，

24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6

1既不是素数也不是合数，2是唯一的偶素数。

3.  100以内的素数

2，  3，  5，  7，  11，  13，  17，  19，  23，  29，  31，  37，  39，  41，  43，  47，  53，  59，  61，  67，  69，  71，  73，  79，  83，  89，  97

 
4.   1000以内的素数

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分类: 数论 标签: 合数, 素数

1.   整除的概念

设a、b为整数，且b≠0，如果存在正数q，使得a = bq，那么称b整除a，或者a能被b整除（Divisible），记作 b | a，并且称b是a的因数（Factor），a是b的倍数（Multiple）。如果这样的整数q不存在，就称b不整除a，记作b∤a。 如： 2 | 8，   5 | 100，  37 | 111， 6∤21， 4∤–41

2.   整除的性质

（1）若 a | b，b | a，则 a = ±b

（2）若 a | b，b | c，则 a | c。如：2 | 8，8 | 32 → 2 | 32

（3）若 a | b，a | c，则对任意整数x、y，有 a | bx + cy。如：3 | 6，3 | 9 → 3 | 6x +9y

3.   带余除法

设a、b为整数，且b≠0，则存在唯一的一对整数q和r，使得 a = bq + r，0 ≤ r < | b |。如：

• 17 = 4×4+1 = 3×5+2 = 2×6+5 = 2×7+3 = 2×8+1，
• 101 = 10×10+1 = 8×12+5 = 5×20+1 = 3×33+2

能被2、3、4、5、7、9、11、13整除的数的特点

2.   偶数：个位是2、4、6、8

3.  各位数字之和能被3整除

• 123 —— 1 + 2 + 3 = 6，3 | 123；
• 123456789 —— 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 —— 4 + 5 = 9，3 | 123456789

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

.                                1000a+ 100b +10c+ d

.                            = 999a+ a + 99b + b +9c+ c + d

.                            =（999a+ 99b +9c）+（a + b + c + d）

∵                         3 | 999a + 99b + 9c

∴                         只需要3 | a + b + c + d，就可保证 3 | 1000a + 100b + 10c + d

4.   最后两位数能被4整除

如：4 | 316； 4 | 51708

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

∵                         4 | 1000a + 100b

∴                         只需要4 | 10c + d，就可保证 4 | 1000a + 100b + 10c + d

5.   个位上的数是0或者5

如：5 | 300；  5 | 1025

9.  各位数字之和能被9整除

证明跟3的一样。

7、11、13.  有共同之特点：

把数从右到左每三位进行拆分，并相减，若相减后的数能够被7，或者11，又或者13整除，那么这个数就可以被其整除。

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d、e、f，

则这个数可表示为 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

并且从右到左每三位进行拆分：abc | def

∵                   7 × 11 × 13  = 1001

∴                   100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

.                  = 100（1000a+ d）+ 10（1000b + e）+1000c+ f

.                  = 100（1001a– a + d）+ 10（1001b – b + e）+1001c– c + f

.                  = 1001（100a+ 10b + c）–（100a+ 10b + c）+（100d + 10e + f）

∵                   1001（100a+ 10b + c）均能整除7、11、13

∴                  只需要考察（100d + 10e + f）–（100a+ 10b + c）

.                     按顺序写（100a+ 10b + c）–（100d + 10e + f）整除可否与上式一致

即

相减后的数能够被7，或者11，又或者13整除，那么这个数就可以被其整除。

<1>.   若位数更高的可继续拆分，abcdef | ghi，此时减后再减；或者拆分为abc | def | ghi，用首尾相隔的三位数相加，再减去夹在中间的。

如：123456789×7 = 864197523

（1）864197 | 523     →     864197 – 523 = 863 | 674     →     863 – 674 = 189 可整除7

（2）864 | 197 | 523     →     864 + 523 – 197 = 1190     →     190 – 1 = 189 可整除7

验证完毕。

<2>.   而判断能否整除7的方法还有：除去个位上的其它所有的数 – 个位数的两倍。数学符号表示为：设一个数表示为10x + y，判断 x – 2y 是否可被7整除。

∵    若 7 | x – 2y

必定可以推出 7 | 10（x – 2y）  →   7 | 10x – 20y   →   7 | 10x – 21y + y   →   7 | 10x + y

但这种方法x – 2y 与10x + y 只相差约10倍，计算量并不能够大大地减少，有可能会更繁复，倒不如直接相除看能不能够除尽。

如：123456789 × 7 =864197523

86419752 – 2×3 = 86419746

8641974 – 2×6 = 8641962

864196 – 2×2 = 864192

86419 – 2×2 = 86415

8641 – 2×5 = 8631

863 – 2×1 = 861

86 – 2×1 = 84 可以被7整除

验证完毕。

<3>.  判断能否整除11的方法还有更简单的：奇数位数字之和 – 偶数位数字之和，如果得到的差可以整除11，此数便能整除11。

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

1000a+ 100b +10c+ d

=1001a– a + 99b + b +11c– c + d

=（1001a+ 99b +11c）+（b + d）–（a + c）

∵    11 | 1001a + 99b +11c

∴    只需要11 |（b + d）–（a + c），就可保证 11 | 1000a + 100b + 10c + d

分类: 数论 标签: 倍数, 因数, 整除

1.   小数（Decimal）

整数部分为零的小数叫做纯小数，如：0.2、0.1010 ··· ，而整数部分不是零的小数叫做带小数，如：1.6、12345.54321。小数可分为有限小数，无限小数，而无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。

2.  有限小数（Finite Decimal），

小数的数位是有限的，也就是分子除以分母是能够除尽的。如：0.2、0.5、1.36、11.89。有限小数的特征是分母只能够分解为2与5这两个因素。

• 1/2 = 0.5 ，  1/4 = 0.25 ，  1/8 = 0.125 ，  1/16 = 0.0625
• 1/5 = 0.2 ， 1/25 = 0.04 ， 1/125 = 0.008
• 1 / 10 = 0.1 ，  1/100 = 0.01 ，  1/1000 = 0.001

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