玄数

一. 两位数相乘，十位数都是1
11 × 12 = 132 → 3: 1+2
12 × 13 = 156 → 5: 2+3
12 × 14 = 168 → 6: 2+4

个位数相乘不进位 ——
个位数: 原个位数相乘, 十位数: 原个位数相加, 百位数: 1.

 
13 × 14 = 182 → 8: 3+4+1
13 × 15 = 195 → 9: 3+5+1
16 × 18 = 288 → 8: 6+8+4 = 18 → 1+1 = 2 (百位数)
17 × 19 = 323 → 2: 7+9+6 = 22 → 2+1 = 3 (百位数)

个位数相乘进位 ——
个位数: 原个位数相乘所得的个位数，
十位数: 原个位数相加 + 原个位数相乘后的进位，如8: 6+8+4中的4是6×8 = 48的4
百位数: 若十位数不进位，取1；否则，进位数+1作为百位数. 如2+1 = 3中的2是十位22中的2.

 
 
二. 十位数一样，个位数加起来等于10
54 × 56 = ?
81 × 89 = ?

（更多…）

分类: 代数, 式, 数论, 算术 标签: 速算

一． 位数相同的1的乘法：从1位到9位都有着对称的规律，10位和以上的就没有了
1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
11111 × 11111 = 123454321
111111 × 111111 = 12345654321
1111111 × 1111111 = 1234567654321
11111111 × 11111111 = 123456787654321
111111111 × 111111111 = 12345678798654321
1111111111 × 1111111111 = 12345678790098654321

 

二． 两个1的之间夹0，乘以少了1位的数：把数字双写
101 × 11 = 1111
101 × 55 = 5555
101 × 37 = 3737
101 × 68 = 6868
1001 × 222 = 222222
1001 × 666 = 666666
1001 × 928 = 928928
10001 × 8888 = 88888888

 

三． 1~9去掉8，与9的倍数相乘：111111111 ÷ 9 = 12345679，刚好少了个8
12345679 × 9 = 111111111
12345679 × 18 = 222222222
12345679 × 27 = 333333333
12345679 × 36 = 444444444
12345679 × 45 = 555555555
12345679 × 54 = 666666666
12345679 × 63 = 777777777
12345679 × 72 = 888888888
12345679 × 81 = 999999999

 
（更多…）

分类: 代数, 式, 数论, 算术 标签: 速算

马林·梅森（Marin Mersenne 1588 ~ 1648）  是法国大数学家笛卡尔的同学，曾致力于寻找质数公式。1644年，他提出：在形如2ⁿ – 1的式子中，存在许多质数。他曾指出以下这些数都是素数：

M₂ = 2² – 1

M₃ = 2³ – 1

M₅ = 2⁵ – 1

M₇ = 2⁷ – 1

M₁₃ = 2¹³ – 1

M₁₇ = 2¹⁷ – 1

M₁₉ = 2¹⁹ – 1

M₃₁ = 2³¹ – 1

M₆₇ = 2⁶⁷ – 1

M₁₂₇ = 2¹²⁷ – 1

M₂₅₇ = 2²⁵⁷ – 1
（更多…）

分类: 数论 标签: Mersenne primes, 梅森素数

当分子不能把分母除尽时，一定会某一位开始不断地出现循环吗？

• 1/3，第1次的余数就是1，小数从第2位开始循环，1/3 = 0.333 ···
• 1/9，第1次的余数就是1，小数从第2位开始循环，1/9 = 0.111 ···

（更多…）

分类: 代数, 数的分类, 数论 标签: 循环无限小数

1.  最大公因数

给定两个整数a、b，必有公共的因数，叫做公因数（Common Factor）。其中最大的一个叫做 a、b的最大公因数，记作（a，b）。如：

• 12和48的公因数有：2、4、6、12，其中12最大，所以（12，48）= 12
• 100和150的公因数有：2、5、10、25，其中25最大，所以（100，150）= 25

（1）如果a、b的最大公因数是1，称a、b互素。 如：

• 3与7，19与39，100与101；
• 所有的素数都互素

（2）如果 a | b，则（a，b）= a。 如：

• 4 | 8，（4，8）= 4；
• 10 | 20，（10，20）= 10；
• 39 | 117，（39，117）= 39

（3）若a | bc，且（a，b）= 1，则 a | c。 如：

• a = 3，b = 7，c = 6   ——  3 | 7×6，（3，7）= 1   →   3 | 6
• a = 11，b = 17，c = 33   ——  11 | 17×33，（11，17）= 1   →   11 | 33
• 7 = 3，b = 50，c = 49   ——  7 | 50×49，（7，50）= 1   →   7 | 49

（4）设a、b不同时为0，则存在一对整数m、n，使得（a，b）= am + bn。 如：

• （12，48）= 12 = 2×3 + 1×6
• （100，150）= 25 = 1×5 + 2×10
• （39，117）= 39 = 2×7 + 5×5

（更多…）

分类: 数论 标签: 互素, 公倍数, 公因数, 最大公因数, 最小公倍数

1.   素数（Prime Number）

仅有1和它本身两个正因数的正整数，叫做素数，也叫质数。如：3，7，23。

设p为素数，若 p | ab，则p | a，或p | b。 如：

p = 2，a = 4，b = 7   ——  2 | 4×7   →   2 | 4

p = 7，a = 22，b = 21   ——  7 | 22×21   →   7 | 21

2.   合数（Composite Number）

含有三个或以上正因数的正整数，叫做合数。如：

4 = 1×4 = 2×2，

24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6

1既不是素数也不是合数，2是唯一的偶素数。

3.  100以内的素数

2，  3，  5，  7，  11，  13，  17，  19，  23，  29，  31，  37，  39，  41，  43，  47，  53，  59，  61，  67，  69，  71，  73，  79，  83，  89，  97

 
4.   1000以内的素数

（更多…）

分类: 数论 标签: 合数, 素数

1.   整除的概念

设a、b为整数，且b≠0，如果存在正数q，使得a = bq，那么称b整除a，或者a能被b整除（Divisible），记作 b | a，并且称b是a的因数（Factor），a是b的倍数（Multiple）。如果这样的整数q不存在，就称b不整除a，记作b∤a。 如： 2 | 8，   5 | 100，  37 | 111， 6∤21， 4∤–41

2.   整除的性质

（1）若 a | b，b | a，则 a = ±b

（2）若 a | b，b | c，则 a | c。如：2 | 8，8 | 32 → 2 | 32

（3）若 a | b，a | c，则对任意整数x、y，有 a | bx + cy。如：3 | 6，3 | 9 → 3 | 6x +9y

3.   带余除法

设a、b为整数，且b≠0，则存在唯一的一对整数q和r，使得 a = bq + r，0 ≤ r < | b |。如：

• 17 = 4×4+1 = 3×5+2 = 2×6+5 = 2×7+3 = 2×8+1，
• 101 = 10×10+1 = 8×12+5 = 5×20+1 = 3×33+2

能被2、3、4、5、7、9、11、13整除的数的特点

2.   偶数：个位是2、4、6、8

3.  各位数字之和能被3整除

• 123 —— 1 + 2 + 3 = 6，3 | 123；
• 123456789 —— 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 —— 4 + 5 = 9，3 | 123456789

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

.                                1000a+ 100b +10c+ d

.                            = 999a+ a + 99b + b +9c+ c + d

.                            =（999a+ 99b +9c）+（a + b + c + d）

∵                         3 | 999a + 99b + 9c

∴                         只需要3 | a + b + c + d，就可保证 3 | 1000a + 100b + 10c + d

4.   最后两位数能被4整除

如：4 | 316； 4 | 51708

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

∵                         4 | 1000a + 100b

∴                         只需要4 | 10c + d，就可保证 4 | 1000a + 100b + 10c + d

5.   个位上的数是0或者5

如：5 | 300；  5 | 1025

9.  各位数字之和能被9整除

证明跟3的一样。

7、11、13.  有共同之特点：

把数从右到左每三位进行拆分，并相减，若相减后的数能够被7，或者11，又或者13整除，那么这个数就可以被其整除。

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d、e、f，

则这个数可表示为 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

并且从右到左每三位进行拆分：abc | def

∵                   7 × 11 × 13  = 1001

∴                   100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

.                  = 100（1000a+ d）+ 10（1000b + e）+1000c+ f

.                  = 100（1001a– a + d）+ 10（1001b – b + e）+1001c– c + f

.                  = 1001（100a+ 10b + c）–（100a+ 10b + c）+（100d + 10e + f）

∵                   1001（100a+ 10b + c）均能整除7、11、13

∴                  只需要考察（100d + 10e + f）–（100a+ 10b + c）

.                     按顺序写（100a+ 10b + c）–（100d + 10e + f）整除可否与上式一致

即

相减后的数能够被7，或者11，又或者13整除，那么这个数就可以被其整除。

<1>.   若位数更高的可继续拆分，abcdef | ghi，此时减后再减；或者拆分为abc | def | ghi，用首尾相隔的三位数相加，再减去夹在中间的。

如：123456789×7 = 864197523

（1）864197 | 523     →     864197 – 523 = 863 | 674     →     863 – 674 = 189 可整除7

（2）864 | 197 | 523     →     864 + 523 – 197 = 1190     →     190 – 1 = 189 可整除7

验证完毕。

<2>.   而判断能否整除7的方法还有：除去个位上的其它所有的数 – 个位数的两倍。数学符号表示为：设一个数表示为10x + y，判断 x – 2y 是否可被7整除。

∵    若 7 | x – 2y

必定可以推出 7 | 10（x – 2y）  →   7 | 10x – 20y   →   7 | 10x – 21y + y   →   7 | 10x + y

但这种方法x – 2y 与10x + y 只相差约10倍，计算量并不能够大大地减少，有可能会更繁复，倒不如直接相除看能不能够除尽。

如：123456789 × 7 =864197523

86419752 – 2×3 = 86419746

8641974 – 2×6 = 8641962

864196 – 2×2 = 864192

86419 – 2×2 = 86415

8641 – 2×5 = 8631

863 – 2×1 = 861

86 – 2×1 = 84 可以被7整除

验证完毕。

<3>.  判断能否整除11的方法还有更简单的：奇数位数字之和 – 偶数位数字之和，如果得到的差可以整除11，此数便能整除11。

证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

1000a+ 100b +10c+ d

=1001a– a + 99b + b +11c– c + d

=（1001a+ 99b +11c）+（b + d）–（a + c）

∵    11 | 1001a + 99b +11c

∴    只需要11 |（b + d）–（a + c），就可保证 11 | 1000a + 100b + 10c + d

分类: 数论 标签: 倍数, 因数, 整除

1.   小数（Decimal）

整数部分为零的小数叫做纯小数，如：0.2、0.1010 ··· ，而整数部分不是零的小数叫做带小数，如：1.6、12345.54321。小数可分为有限小数，无限小数，而无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。

2.  有限小数（Finite Decimal），

小数的数位是有限的，也就是分子除以分母是能够除尽的。如：0.2、0.5、1.36、11.89。有限小数的特征是分母只能够分解为2与5这两个因素。

• 1/2 = 0.5 ，  1/4 = 0.25 ，  1/8 = 0.125 ，  1/16 = 0.0625
• 1/5 = 0.2 ， 1/25 = 0.04 ， 1/125 = 0.008
• 1 / 10 = 0.1 ，  1/100 = 0.01 ，  1/1000 = 0.001

（更多…）

分类: 代数, 数的分类, 数论 标签: 小数, 无限小数, 无限循环小数, 有限小数