马林·梅森（Marin Mersenne 1588 ~ 1648） 是法国大数学家笛卡尔的同学，曾致力于寻找质数公式。1644年，他提出：在形如2n – 1的式子中，存在许多质数。他曾指出以下这些数都是素数：
M2 = 22 – 1
M3 = 23 – 1
M5 = 25 – 1
M7 = 27 – 1
M13 = 213 – 1
M17 = 217 – 1
M19 = 219 – 1
M31 = 231 – 1
M67 = 267 – 1
M127 = 2127 – 1
M257 = 2257 – 1
（更多…）
当分子不能把分母除尽时，一定会某一位开始不断地出现循环吗？
给定两个整数a、b，必有公共的因数，叫做公因数（Common Factor）。其中最大的一个叫做 a、b的最大公因数，记作（a，b）。如：
（1）如果a、b的最大公因数是1，称a、b互素。 如：
（2）如果 a | b，则（a，b）= a。 如：
（3）若a | bc，且（a，b）= 1，则 a | c。 如：
（4）设a、b不同时为0，则存在一对整数m、n，使得（a，b）= am + bn。 如：
仅有1和它本身两个正因数的正整数，叫做素数，也叫质数。如：3，7，23。
设p为素数，若 p | ab，则p | a，或p | b。 如：
p = 2，a = 4，b = 7 —— 2 | 4×7 → 2 | 4
p = 7，a = 22，b = 21 —— 7 | 22×21 → 7 | 21
含有三个或以上正因数的正整数，叫做合数。如：
4 = 1×4 = 2×2，
24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6
2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 39， 41， 43， 47， 53， 59， 61， 67， 69， 71， 73， 79， 83， 89， 97
设a、b为整数，且b≠0，如果存在正数q，使得a = bq，那么称b整除a，或者a能被b整除（Divisible），记作 b | a，并且称b是a的因数（Factor），a是b的倍数（Multiple）。如果这样的整数q不存在，就称b不整除a，记作b∤a。 如： 2 | 8， 5 | 100， 37 | 111， 6∤21， 4∤–41
（1）若 a | b，b | a，则 a = ±b
（2）若 a | b，b | c，则 a | c。如：2 | 8，8 | 32 → 2 | 32
（3）若 a | b，a | c，则对任意整数x、y，有 a | bx + cy。如：3 | 6，3 | 9 → 3 | 6x +9y
设a、b为整数，且b≠0，则存在唯一的一对整数q和r，使得 a = bq + r，0 ≤ r < | b |。如：
证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d
. 1000a+ 100b +10c+ d
. = 999a+ a + 99b + b +9c+ c + d
. =（999a+ 99b +9c）+（a + b + c + d）
∵ 3 | 999a + 99b + 9c
∴ 只需要3 | a + b + c + d，就可保证 3 | 1000a + 100b + 10c + d
如：4 | 316； 4 | 51708
证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d
∵ 4 | 1000a + 100b
∴ 只需要4 | 10c + d，就可保证 4 | 1000a + 100b + 10c + d
如：5 | 300； 5 | 1025
证明跟3的一样。
证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d、e、f，
则这个数可表示为 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f
并且从右到左每三位进行拆分：abc | def
∵ 7 × 11 × 13 = 1001
∴ 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f
. = 100（1000a+ d）+ 10（1000b + e）+1000c+ f
. = 100（1001a– a + d）+ 10（1001b – b + e）+1001c– c + f
. = 1001（100a+ 10b + c）–（100a+ 10b + c）+（100d + 10e + f）
∵ 1001（100a+ 10b + c）均能整除7、11、13
∴ 只需要考察（100d + 10e + f）–（100a+ 10b + c）
. 按顺序写（100a+ 10b + c）–（100d + 10e + f）整除可否与上式一致
即
相减后的数能够被7，或者11，又或者13整除，那么这个数就可以被其整除。
<1>. 若位数更高的可继续拆分，abcdef | ghi，此时减后再减；或者拆分为abc | def | ghi，用首尾相隔的三位数相加，再减去夹在中间的。
如：123456789×7 = 864197523
（1）864197 | 523 → 864197 – 523 = 863 | 674 → 863 – 674 = 189 可整除7
（2）864 | 197 | 523 → 864 + 523 – 197 = 1190 → 190 – 1 = 189 可整除7
验证完毕。
<2>. 而判断能否整除7的方法还有：除去个位上的其它所有的数 – 个位数的两倍。数学符号表示为：设一个数表示为10x + y，判断 x – 2y 是否可被7整除。
∵ 若 7 | x – 2y
必定可以推出 7 | 10（x – 2y） → 7 | 10x – 20y → 7 | 10x – 21y + y → 7 | 10x + y
但这种方法x – 2y 与10x + y 只相差约10倍，计算量并不能够大大地减少，有可能会更繁复，倒不如直接相除看能不能够除尽。
如：123456789 × 7 =864197523
86419752 – 2×3 = 86419746
8641974 – 2×6 = 8641962
864196 – 2×2 = 864192
86419 – 2×2 = 86415
8641 – 2×5 = 8631
863 – 2×1 = 861
86 – 2×1 = 84 可以被7整除
验证完毕。
<3>. 判断能否整除11的方法还有更简单的：奇数位数字之和 – 偶数位数字之和，如果得到的差可以整除11，此数便能整除11。
证明：设各位上的数字分别为a、b、c、d，则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d
1000a+ 100b +10c+ d
=1001a– a + 99b + b +11c– c + d
=（1001a+ 99b +11c）+（b + d）–（a + c）
∵ 11 | 1001a + 99b +11c
∴ 只需要11 |（b + d）–（a + c），就可保证 11 | 1000a + 100b + 10c + d
整数部分为零的小数叫做纯小数，如：0.2、0.1010 ··· ，而整数部分不是零的小数叫做带小数，如：1.6、12345.54321。小数可分为有限小数，无限小数，而无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。
小数的数位是有限的，也就是分子除以分母是能够除尽的。如：0.2、0.5、1.36、11.89。有限小数的特征是分母只能够分解为2与5这两个因素。
