概率论-数理统计 | 玄数

2016-06-08

公元 1777 年的一天,法国科学家布丰的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

布丰投针试验 buffon needle

客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针 2212 次,其中与平行线相交的有 704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为 l,投针的次数为 n,所投的针当中与平行线相交的次数是 m,那么当 n 相当大时有:π≈2ln/dm

上面故事中,针长l恰等于平行线间距离d的一半,所以代入上面公式化简得:π≈n/m

其中的一个证明方法是:找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离 d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为 n 次,那么相交的交点总数必为 2n

现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd 的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有 4 个交点,3 个交点,2个交点,1 个交点,甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说,当长为πd 的铁丝扔下 n 次时,与平行线相交的交点总数应大致为 2n。

现在再来讨论铁丝长为 l 的情形。当投掷次数 n 增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数 m 应当与长度 l 成正比,因而有:m=kl,式中 K 是比例系数。为了求出 K 来,只需注意到,对于 l=πd 的特殊情形,有 m=2n。于是求得k=2n/πd。代入前式就有m≈2ln/πd,从而π≈2ln/dm

这便是著名的布丰公式。

但这个证明有个问题,就是证明的基础:当铁丝的长度一定时,无论什么形状,与线相交,为什么点的总数期望是一样的呢?为什么它们是机会均等的?

布丰投针试验


2012-12-31

法国数学家贝特兰曾在1889年提出一个概率悖论:在圆内作任一弦,其长度超过圆内接正三边形边长a的概率是多少?这一著名悖论被称为贝特兰概率悖论Bertrand’s  paradox)。 

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论。一门学科出现悖论,表明该学科的基础还有不够严谨的地方,但同时也能促使该学科从不够严谨往严谨的方向发展。
下面来看看贝特兰概率悖论中有什么矛盾之处。

(1) P = 1/2

贝特兰概率悖论
在⊙O中,MN是任一直径。分别以M、N为顶点作圆内接正三边形,与直径MN分别相交于P点和Q点。在MN上任取一点H,过H作弦AB⊥PQ,要使弦AB的长大于a,只要H落在线段PQ之中。而|PQ| 刚好是 |MN|的一半。 (更多…)


2012-03-02

1.   频数和频率

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数(Frequency),事件A出现的比例fn(A)= nA / n 为事件A出现的频率(Relative Frequency)。

 

历史上,有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验:

试验者 抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的频率
棣莫弗 2048 1061 0.518
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005

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2012-02-24

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 6ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + a6

… …

(a + b)n = ?

 

杨辉三角

在二项式 (a + b)n 中,每一单项式的次数和都等于n,把每一项的系数列出来,可以得到一个杨辉三角:三角形左边和右边的数字全都是1,而内部的每一个数字都是连接到它的上端的两个数字之和。内部的数字究竟还有其他什么特征?

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2012-02-24

1.  小明要去电脑城买外部设备:2个不同品牌的移动硬盘。ABC店铺里有以下这些品牌:希捷(1)、西部数据(2)、巴法络(3)、东芝(4)。小明共有多少种选择?

移动硬盘

解:先选择西部数据后选择希捷,或者先选择希捷后选择西部数据,所得到的最后结果是一致的,即品牌种类的组合与选择顺序无关。共有6种,分别是:1-2、1-3、1-4、2-3、2-4、3-4

 

 

2.  从1、2、3、4这4个数字中随机抽出3个数字组成一组,可以有多少种组合?

解: 这里不考虑数字的排列顺序,123 和213 以及 312 都是一样的,只考虑哪3个数字可以组成一组。有4种组合:123,124,134,234。

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2012-02-23

1.   从1、2、3 这3个数字中随机抽出2个数字排列成一个新的数字,一共可以有多少种排列?

排列2位数

 

2.   用1、2、3 这3个数字排列成一个3位数,一共可以有多少种排列?

排列3位数

从图中可以看到,排列成2位数和3位数都是一样的,一共都是6种排法。那时因为当你排列成3位数时,只要把前两位数都确定了,剩下的最后一个数字也就被确定了。

 

3.   从1、2、3、4这4个数字中随机抽出3个数字排列成一个新的数字,一共可以有多少种排列?

排列3位数

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2012-02-22

1.  分类加法计数原理(Addition counting principle)

从4个红球、3个蓝球、2个黑球中任意拿出一个球,共有多少种取法?

加法计数原理

解:从红球中任意拿出一个:有4种;从蓝球中任意拿出一个:有3种;从黑球中任意拿出一个:有2种。所以一共有 4 + 3 +2 = 9 种取法。

 

完成一件事有各类不同方案。在第1类方案中有 n种不同的方法;在第 2 类方案中有 n种不同的方法 … … 在第 k 类方案中有 n种不同的方法。那么完成这件事共有 N = n1 + n2 + … … + nk 种不同的方法。

 

分类加法计数原理还可以用在以下情况:

莉莉毕业了,向各大公司投出100份简历:分别给上海投了50份、北京投了30份、深圳投了20份。现在她得到来自上海3个、北京4个、深圳1个公司的面试机会。问:莉莉可以有多少种选择面试的机会?

解:只有最后的3个数字才是有效的,前面的均是无效数字。从上海可以3个,从北京可以选择4个,从深圳可以选择1个,所以她共有 3 + 4 + 1 = 8 种选择机会。

 

2.  分步乘法计数原理 ( Addition counting principle )

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2012-01-20

随机事件

1.   事件是在一定的中和条件下,也就是在实验的结果中,所发生的现象,用大写字母A,B,C … … 表示。

2.   一定会发生的事件,叫做 必然事件(Certain Event)。

3.   一定不发生的事件,叫做 不可能事件(Impossible Event),记作Ø。

4.   可能发生也可能不发生的事件,叫做 随机事件偶然事件)(Randon Event)。

 
 

样本空间

试验结果中每一个可能发生的事件叫做实验的样本点(Sample Points),通常用字母ω表示。试验的所有样本点ω1,ω2,…ωn 构成的集合叫做样本空间(Sample Space),通常用字母Ω表示:Ω = {ω1,ω2,…ωn}

如:试验任意抛一枚硬币,则有样本点:ω1表示“画向上”, ω2表示“字向上”。于是样本空间是由两个样本点构成的集合:Ω = {ω1,ω2 }

 

 

事件的关系与运算

概率论中事件的关系与运算也符合集合论的基本概念,也可用文恩图来表示。

1.  如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A,或事件A包含于事件B,记作B⊇A(A⊆B)。

 

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