数学思维 | 玄数

2014-12-18

下面是一道几何上有名的错觉证明的例子。

数学错觉 Illusion

已知: 在四边形ABCD中,AB = CD。

求证: AD // BC

证明: 令线段AD和BC的垂直平分线相交于E点,可得AE = DE,BE = CE,已知AB = CD
∴                                     △ABE ≌ △DCE
∴                                    ∠1 = ∠2
∵                                    ∠3 = ∠4 ( EA = ED )
∴                                     ∠BAD = ∠CDA
同理可证                         ∠ABC = ∠DCB
又∵                                  四边形内角和为360o
∴                                     ∠BAD + ∠ABC = 180o
从而                                     AD // BC

 

但结论绝对是错的!能指出错在哪吗?

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2014-11-14

“电脑算命”看起来挺玄乎,只要你报出自己出生的年、月、日和性别,一按按键,屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子,据说这就是你的“命”。

其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

抽屉原理又称鸽笼原理狄利克雷原理,它是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例子,把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中,那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果,那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。
抽屉原理 box principle
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2014-08-08

现在的网络诈骗越来越多

网络诈骗

 

当被骗了,难过的到警局报案时,警察先生面对投案者的低落心情,有时会平和的反问到:“如果是真有这么多的钱,为什么他不找他家里的亲戚朋友来做?而要给外面不认识的人做呢?”  意即是问:你怎么就相信了啊?当然,很多情况下,受骗者是被金钱一时冲昏了头脑,要是可以像警察先生说的那么去想,也许这世界上的不义钱财流动就会减少不少。

实际上,这个想法,是用到了数学上的反证法。数学思维可以广泛的用到日常生活中的许多方面。就是先假设,如果对方说的是真的,那么就会 … … ,然后是 … … ,再然后 … … ,最后 … … 。一直推下去,推得你会认为是不可能的,矛盾的。(数学上的反证法一般先归谬,因为要你证明的原命题是真的)

举例说:如果是真有这么多的钱,那他可以找他亲戚朋友来做,何必把钱给我呢?但是,要是他的亲戚朋友人数还不够多呢,还做不过来呢?那他可以找亲戚的亲戚啊,可要是还应付不过来呀,怎办呢?是不是就可以外包出去给别人做了???你想对了,你可知道骗子成功从你手上骗到钱,在这与之相关的一整条产业链是多大吗? (更多…)


2014-07-31

认真观察下两图,小方格的边长为1单位,下图三角形的面积怎么会比上图大1?多出来的小方格是从哪儿来的?

illusion

答案在下一页,但请先动动脑筋想一想。


2014-07-30

问: 在一圆内画n条直线,最多可把这个圆分成几个区域?

  n 划分区域数
n条直线分几个区域 1 2 = 1+1
2 4 = 1+2+1
3 7 = 1+2+3+1
4 11 = 1+2+3+4+1
5 16 = 1+2+3+4+5+1

你可以从上图猜测到:是1加上前n个自然数的和1+(1+n)n/2,但是,你肯定吗?你能证明吗?

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2014-07-30

有些问题从正面难以下手,但从反面推理可以得出:从反面出发的假设是错误的。

例:  证明√2是无理数

证明:    假设√2是有理数,它可以表示为既约分数a/b,即 √2 = a/b, 则

a = √2b

a2 = 2b2

∵      2 b2是偶数

∴     a2也应该为偶数,a必是2的倍数,设 a = 2m,那么 a2 = 4m2,得 (更多…)


2014-01-30

综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论;
而分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

综合法是从原因推导到结果的思维方法,综合法又叫做由因导果法;
分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,分析法又叫做执果索因法.

例:如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点。求证:EF∥平面SAD(2007年全国卷II(理)—— 三、解答题:19 第一问)

2007年全国卷II(理)

分析:根据《直线、平面的位置关系》中的平行判定法则:平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。所以要在平面SAD内找到一条直线与EF是平行的。两条平行线跟另外两条平行线相交,必定构成一个平行四边形。而这另外两条平行线中的一条,假设就是AE,即要寻找另外一条直线是跟AE平行的。根据题目中的中点已知条件,那么尝试另外一条线段的两个端点都是中点。 (更多…)


2014-01-30

综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论;
分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.

综合法是从原因推导到结果的思维方法,综合法又叫做由因导果法;
分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,分析法又叫做执果索因法.

例:证明在锐角三角形中,sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC

证:

∵               三角形为锐角三角形

∴              ∠ A < π/2,    ∠ B < π/2,    ∠ C < π/2 (更多…)