柯西 Cauchy | 玄数

2013-08-18
  •  1789—1857年, 法国
  • 数学分析严格化的开拓者

柯西  Cauchy

柯西在幼年时,他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室,并且在那里指导他进行学习,因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。

柯西于1802年入中学。在中学时,他的拉丁文和希腊文取得优异成绩,多次参加竞赛获奖;数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校,在那里主要学习数学和力学;1807年考入桥梁公路学校,1810年以优异成绩毕业,前往瑟堡参加海港建设工程。

柯西怀着严格化的明确目标,为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系。他说:“至于方法,我力图赋予……几何学中存在的严格性,决不求助于从代数一般性导出的推理。这种推理……只能认为是一种推断,有时还适用于提示真理,但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义,“消除了所有不确定性”,并说:“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。”

他的主要贡献为:

(一)单复变函
数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。

现代复变函数理论发端于他的工作。首先,他证明了复数的代数与极限运算的合理性,定义了复函数的连续性;他给出了柯西-黎曼方程,定义了复函数沿复域中任意路径的积分,并得到重要的积分定理:在函数没有奇异性的区域内,积分仅仅依赖于路径的端点,由此导出了著名的柯西积分公式;柯西定义了复函数在极点处的留数,给出了计算留数的公式,建立了留数定理;他还得到了函数的幂级数展开式,提出了幂级数的收敛半径这个概念,得到了通项系数的换算估计式(即柯西不等式)。

(二)分析基础
柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析,简称分析)以来,这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展,必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。他是经典分的奠基人之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。

关于微积分的原理,他的概念主要是正确的,其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的,他首先准确地证明了泰勒公式,他给出了级数收敛的定义和一些判别法。

柯西率先定义了级数的收敛、绝对收敛、序列和函数的极限,并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性的柯西准则,他定义了上、下极限,并证明了收敛性;他最先使用极限符号。柯西还建立了连续函数的概念,并强调微商是一个极限.他用和的极限给定积分下了第一个合适的定义。

(三)常微分方程
柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前,没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法,即柯西—利普希茨法,逐渐逼近法和强级数法,实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数,可以证明逼近步骤收敛,其极限就是方程的所求解。

(四)其他贡献
虽然柯西主要研究分析,但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科,他在天文和光学方面的成果是次要的,可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外,他在数学中其他贡献如下:
1.分析方面:在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。
2.几何方面:开创了积分几何,得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。
3.代数方面:首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式,首先明确提出置换群概念,并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”,即格拉斯曼的外代数原理。

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