圆的方程 | 玄数

2012-01-26

1.  圆的标准方程(Standard Equation of Circle):到一个点到距离等于定长的点的轨迹是圆。圆的半径为r,M(x,y)是圆上任意一点,当圆心刚好与坐标原点O重合时,过M向x轴、y轴作垂线,连接OM,构成的三角形全是直角三角形,由勾股定理可得:圆的方程是 x2 + y2 = r2

circle

当圆心是点C(a,b)时,向坐标轴作垂线和连接MC也能够成直角三角形,此时圆的方程是  (x – a) 2  +  (y – b) 2 = r2。也可由函数的平移看作是x2 + y2 = r2 向右平移 a 个单位长度、并且向上平移 b个单位长度共同作用所得。

 

2.  圆的一般方程(General Equation of Circle):x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

配方移项后得 (x + D/2)2 + (y + E/2)2 = ( D2 + E2 – 4F ) / 4

(1) 当 ( D2 + E2 – 4F ) / 4 > 0 时,联合圆的标准方程,它表示圆心是(–D/2,–E/2),半径r = D2 + E2 – 4F / 4 的圆

(2) 当 ( D2 + E2 – 4F ) / 4 = 0 时,它只表示一个点(–D/2,–E/2)

(3) 当 ( D2 + E2 – 4F ) / 4 < 0 时,方程没有实数解,它不代表任何图形

 

3.  圆和直线的位置关系
圆和直线的位置关系
直线:Ax + By + C = 0
圆: (x – a)2 + (y – b)2 = r2
《点间距离、点线距离、线间距离》中有点到直线的距离公式的推导过程。代入可得圆心到直线的距离
圆心到直线的距离
(1)d < r ←→ 直线和圆相交

(2) d = r ←→ 直线和圆相切

(3) d > r ←→ 直线和圆相离

 

4.  圆和圆的位置关系

圆1:x2 + y2 + Ax + By + C = 0

圆2:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

 

<1>联合得方程组:

(1)当方程组有两个不等的实数解时,两个圆相交

(2)当方程组有两个相等的实数解时,两个圆相切

(3)当方程组没有实数解时,两个圆相离

circle

<2> 把两个圆的方程化为标准方程,得出圆心1的坐标(a,b),半径r1; 以及圆心2的坐标(c,d),半径r2 ,再求出两个圆心的距离 d = √(a – c)2 + (b – d)2

(1)当 d < r1 + r2 时,两个圆相交

(2)当d = r1 + r2时,两个圆相切

(3)当d > r1 + r2时,两个圆相离

把两圆的位置再进行细分,共有五种: 外离、内含、相交、外切、内切

 

 

练习:

1. 若直线l:ax + by = 1 与圆C:x2 + y2 = 1 有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是()
A. 点在圆上
B. 点在圆内
C. 点在圆外
D. 不能确定

 
2. 两个圆C1:x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 与C2:x2 + y2 – 4x – 2y + 1= 0 的公切线有且仅有()
A. 1条    B. 2条    C. 3条    D. 4条

 
3. 求经过点A(-2, -4)且与直线l:x + 3y – 26 = 0 相切于点B(8, 6) 的圆的方程。

 
4. 已知直线l:x + 2y – 2 = 0与圆C:x2 + y2 = 2 相交于A, B两点,求弦长|AB|。

 

 

圆的方程