玄数

根据行列式的性质5

把第1行的每个元素拆成自身与n-1个0相加，得

可见，n阶行列式可以转为n-1阶行列式与元素相乘后的求和。从高阶转向低阶，减少了运算量。

 

在n阶行列式中，把（I, j）元a_ij所在的行和列都划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（I, j）元a_ij的余子式 Minor，记作M_ij

A_ij = (-1)^i+jM_ij 则是代数余子式 Cofactor

定理  行列式等于它的任一行（列）个各元素与其对应的代数余子式乘积之和

 

其中最后一步的具体证明如下：

 

对于任意的第i行第j列的处理，可先把第i行往上移，一直移到第1行，然后再做列的对换，移到第1列。相应的，排列的奇偶性改变了逆序数。

 

推论  行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零

 
证明: 把j行的元素替换成i行的元素，由行列式的性质2的推论可得，该行列式为0.

 

终上所得


 

 

练习：

1. 通过计算来验证：


 
2. 通过计算来验证：用下列行列式的第二行乘以第一行的余子式，结果是0.


 

 

English：

minor, cofactor
 
 

余子式，行列式按行（列）展开

分类: 线性代数, 行列式 标签: 代数余子式, 余子式