余子式,行列式按行(列)展开 | 玄数

2018-06-05

根据行列式的性质5
行列式的性质

把第1行的每个元素拆成自身与n-1个0相加,得
行列式按行展开

可见,n阶行列式可以转为n-1阶行列式与元素相乘后的求和。从高阶转向低阶,减少了运算量。

 

余子式
在n阶行列式中,把(I, j)元aij所在的行和列都划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(I, j)元aij余子式 Minor,记作Mij

Aij = (-1)i+jMij 则是代数余子式 Cofactor

 

定理  行列式等于它的任一行(列)个各元素与其对应的代数余子式乘积之和
代数余子式
 

其中最后一步的具体证明如下:
余子式
 

对于任意的第i行第j列的处理,可先把第i行往上移,一直移到第1行,然后再做列的对换,移到第1列。相应的,排列的奇偶性改变了逆序数。
余子式
 

推论  行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零
行列式等于零
 
证明: 把j行的元素替换成i行的元素,由行列式的性质2的推论可得,该行列式为0.
行列式为0
 

终上所得
行列式

 
 

余子式,行列式按行(列)展开

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