复数 | 玄数

2012-03-04

1.   复数、虚数

x2 + 1 = 0,x = ?

在实数范围内,负数不能开平方。对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0,当 △ = b2 – 4ac < 0时,无实数解。可就因为这样有很多问题不能解决,因此,为了解决负数不能开平方的问题,引入了一个新数i,叫做虚数单位(Imaginary Unit),并规定:

  • i2 = -1
  • 实数可以与它进行四则运算,并且原有的加、乘运算律仍然成立

虚数

这样就会出现形如 a + bi (a,b∈R) 的数,我们把它叫做复数(Complex Number)。全体复数构成的集合叫做复数集,用大写字母C表示。复数的一般表示形式为 z = a + bi (a,b∈R),其中a是它的实部(Real Part),b是它的虚部(Imaginary Part)。

当且仅当 a = b = 0 时,z 是实数0

当且仅当b = 0 时,z = a 是实数

当 b≠0 时,z = a + bi 是虚数(Imaginary Number)

当 a = 0 且 b≠0 时,z = bi 是纯虚数(Pure Imaginary Numbers)

complex conjugate是z = a + bi 的共轭复数(Complex Conjugate)

 

 

2.   复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等:

a + bi = c + di   ⇔    a = c,b = d

 

 

3.  复平面(Complex Plane)

任何一个复数z = a + bi 都可以由一个有序实数对 (a,b) 确定;而有序实数对 (a,b) 又与平面直角坐标系中的点一一对应。因此,可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。

complex plane

把x轴叫做实轴(Real Axis),y轴叫做虚轴(Imaginary Axis),利用平面直角坐标系来表示复数的平面就变为了复平面。z = a + bi 可由其中的点Z (a,b) 来表示。

 

 

4.  复数的运算

(a + bi) ± (c + di) = (a±c) + (b±d)i

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (bc + ad)i

 

复数的除法

 

如:

.                                                             3i + (11 + 4i) = 11 + 7i

.                                                             3i (11 + 4i) = 33i + 12i2 = –12 + 33i

.                                                              

 

.                                                             i1 = i

.                                                             i2 = –1

.                                                             i3 = –i

.                                                             i4 = 1

.                                                             i5 = i1 = i

.                                                             i6 = i2 = –1

.                                                             i7 = i3 = –i

.                                                             i8 = i4 = 1

 

.                                                             i2011 = i503×3+3 = i3 = –i

.                                                             i2012 = i503×4 = i4 = 1

.                                                             i2013 = i503×4+1 = i1 = i

 

但是

复数

 

5.   在复数范围内解一元二次方程

首先当 x2 = –1 时,x = ±i,而不是x = i

对于ax2 + bx + c = 0,当 △ = b2 –4ac < 0时,x = ?

复数范围内解一元二次方程

复数

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