圆锥曲线的离心率与统一方程 | 玄数

2012-04-23

1.  曲线的描绘

已知点F是平面上的一个定点,l是平面上不过点F的一条定直线,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e。求点M的轨迹方程,并绘图观察它属于什么形状。

 

解:取定点F为原点,过点F并垂直于直线l的直线为x轴,过点F并垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系。设M(x,y)为曲线上的任意一点,并设直线l的方程是 x = –p。过点M作MH⊥l,H为垂足。则

点M到点F的距离是 | MF | =

点M到直线l的距离是 | MH | = | x + p |,

由题意可知 | MF | = e | MH |,所以可得曲线的轨迹方程为

 = e | x + p |

两边平方,化简得

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0

 

 

对e分三种情况讨论:

(1)0 < e < 1:

令 e = 2/3,p = 3,代人 = e | x + p |,取若干个特殊点,描点作图,曲线的形状是椭圆


x – 6/5 –1 0 1 2 3 4 5 6
y 0 ±√7/3
≈ ± 0.88
±2 ±√55/3
≈ ±2.47
± 8/3
≈ ±2.67
±√7
≈ ± 2.65
±√52/3
≈ ± 2.40
±√31/3
≈ ± 1.86
0

 

 

(2)e = 1:

令p = 2,代人 = e | x + p |,取若干个特殊点,描点作图,曲线的形状是抛物线

x –1 0 1 2 3 4
y 0 ±2 ±2√2 ≈ ±2.83 ±2√3 ≈ ±3.46 ±4 ±2√5 ≈ ±4.47

 

 

(3)e > 1:

令e = 3/2,p = 5/6,代人 = e | x + p |,取若干个特殊点,描点作图,曲线的形状是双曲线

x –6 –5 –4 –7/2 –1/2 0 1 2
y ±15/4
= ±3.75
±√30/2
≈ ±2.74
±5/4
= ±1.235
0 0 ±5/4
= ±1.235
±√30/2
≈ ±2.74
±15/4
= ±3.75

 

 

2.  圆锥曲线的定义

平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线(Conic Section),其中点F是它的焦点,直线l是它的准线,比值e是它的离心率。

 

 

3.  圆锥曲线的统一方程

从图中看出: 当0 < e < 1 时,曲线的形状是椭圆;当e = 1 时,曲线的形状是抛物线;当e > 1 时,曲线的形状是双曲线。但是

椭圆的标准方程是                 椭圆

抛物线的标准方程是                  y2 = 2px

双曲线的标准方程是                 双曲线

能够断定

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0

也是椭圆、抛物线和双曲线的方程吗?

 

 

 

 

(1)0 < e < 1:

与椭圆的标准方程 一致,它可以看作是椭圆沿着x轴向右平移所得,左焦点移到了坐标原点,其中     

 

 

(2)e = 1:

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0   就是    y2 – 2px – p2 = 0     →     y2 = 2px + p2

它也跟抛物线的标准方程 y2 = 2px 是  一致的,它只是把纵坐标由 y = ±√2px 扩伸到 y = ±√(2px + p2)

 

 

(3)e > 1:

  与双曲线的标准方程双曲线 形变神不变,其中  

 

 

综上所述,

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0

是圆锥曲线在直角坐标系中的统一方程。 当0 < e < 1 时,方程表示椭圆;当e = 1 时,它会是抛物线;当e > 1 时,则为双曲线。

圆锥曲线的离心率与统一方程