1. 函数连续的定义
设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。
数学符号表达为：∀ε > 0，∃δ > 0，当0 < | x – x0 | < δ时，有 | f (x) – f (x0) | < ε。这与函数的极限有点相似：∀ε > 0，∃δ > 0，当0 < | x – x0 | < δ时，有 | f (x) – A | < ε，是把 A 换成了f (x0)。但也正好是“极限等于该点的函数值”时，函数连续。所有函数连续的定义又叙述为：设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义，如果
那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。
2. 左连续、右连续
如果 
，即f (x0–) = f (x0)，就说函数在点x0 左连续（Left-continuous）。
如果 
，即f (x0+) = f (x0)，就说函数在点x0 右连续（Right-continuous）。
3. 连续函数（Continuous Function）的运算
（1） 连续函数和和、差、积、商的连续性
设函数在 y = f (x) 和 g (x) 在x0 连续，则它们的和（差）f ± g，积 f · g，商 f / g（当g (x0) ≠0时）都在x0 连续。
（2） 反函数的连续性
如果函数y = f (x) 在区间Ix上单调增加（或单调建设）且连续，那么它的反函数 x = f –1 (y) 也在对应的区间Iy = { y | y = f (x)，x∈Ix } 上单调增加（或单调建设）且连续。如：
幂函数： f (x) = xn（n = 2k + 1）
（3） 复合函数的连续性
如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成，去心邻域U (x0) ⊂ D f·g，若
而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续，则
如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成， U (x0) ⊂ D f·g，若u = g (x) 在 x = x0 连续，且g (x0) = u0，而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续，则符合函数 y = f [g (x) ] 在 x = x0 也连续。
4. 初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内都是连续的。
把上面3.（1）中的x0 改为函数的定义域，则可得：函数的和（差）f±g，积f·g，商f / g（当g (x) ≠0时）都其定义域内都是连续。如：
（1）. f (x) = lnx， g (x) = x， (f + g) (x) = lnx + x， (f – g) (x) = lnx – x
（2）. f (x) = sin x， g (x) = x， (f · g) (x) = sinx · x， (f / g) (x) = sinx / x， (g / f) (x) = x / sinx
这里请注意函数连续是必须定义在它的定义域内，如上面的 (g / f) (x) = x / sinx，当 x = kπ时， sin x = 0, 所以必须出去分母为0的点。
练习：
1. 试列举满足性质的函数 f(x) 的例子：f(x) 在R上处处不连续，但 |f(x)| 在R上处处连续。
2. 求下列极限：
3. 设
要使f(x) 在 (-∞，+∞) 内连续，应当怎样选择数α？
