1. 函数连续的定义
设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果
那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。
数学符号表达为:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – f (x0) | < ε。这与函数的极限有点相似:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε,是把 A 换成了f (x0)。但也正好是“极限等于该点的函数值”时,函数连续。所有函数连续的定义又叙述为:设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果
那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。
2. 左连续、右连续
如果 ,即f (x0–) = f (x0),就说函数在点x0 左连续(Left-continuous)。
如果 ,即f (x0+) = f (x0),就说函数在点x0 右连续(Right-continuous)。
3. 连续函数(Continuous Function)的运算
(1) 连续函数和和、差、积、商的连续性
设函数在 y = f (x) 和 g (x) 在x0 连续,则它们的和(差)f ± g,积 f · g,商 f / g(当g (x0) ≠0时)都在x0 连续。
(2) 反函数的连续性
如果函数y = f (x) 在区间Ix上单调增加(或单调建设)且连续,那么它的反函数 x = f –1 (y) 也在对应的区间Iy = { y | y = f (x),x∈Ix } 上单调增加(或单调建设)且连续。如:
幂函数: f (x) = xn(n = 2k + 1)
(3) 复合函数的连续性
如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成,去心邻域U (x0) ⊂ D f·g,若
而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续,则
如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成, U (x0) ⊂ D f·g,若u = g (x) 在 x = x0 连续,且g (x0) = u0,而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续,则符合函数 y = f [g (x) ] 在 x = x0 也连续。
4. 初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内都是连续的。
把上面3.(1)中的x0 改为函数的定义域,则可得:函数的和(差)f±g,积f·g,商f / g(当g (x) ≠0时)都其定义域内都是连续。如:
(1). f (x) = lnx, g (x) = x, (f + g) (x) = lnx + x, (f – g) (x) = lnx – x
(2). f (x) = sin x, g (x) = x, (f · g) (x) = sinx · x, (f / g) (x) = sinx / x, (g / f) (x) = x / sinx
这里请注意函数连续是必须定义在它的定义域内,如上面的 (g / f) (x) = x / sinx,当 x = kπ时, sin x = 0, 所以必须出去分母为0的点。
练习:
1. 试列举满足性质的函数 f(x) 的例子:f(x) 在R上处处不连续,但 |f(x)| 在R上处处连续。
2. 求下列极限:
3. 设
要使f(x) 在 (-∞,+∞) 内连续,应当怎样选择数α?