函数的连续性 | 玄数

2012-02-18

1.  函数连续的定义

continuous function

设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续

 

数学符号表达为:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – f (x0) | < ε。这与函数的极限有点相似:∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε,是把 A 换成了f (x0)。但也正好是“极限等于该点的函数值”时,函数连续。所有函数连续的定义又叙述为:设函数在 y = f (x0) 的某一邻域内有定义,如果

函数连续

那么就称函数y = f (x0) 在x0 连续。

 

2.  左连续、右连续

如果  左连续,即f (x0) = f (x0),就说函数在点x0 左连续(Left-continuous)。

如果 右连续,即f (x0+) = f (x0),就说函数在点x0 右连续(Right-continuous)。

 

 

3.  连续函数(Continuous Function)的运算

(1) 连续函数和和、差、积、商的连续性

设函数在 y = f (x) 和 g (x) 在x0 连续,则它们的和(差)f ± g积 f · g,商 f / g(当g (x0) ≠0时)都在x0 连续。

 

(2) 反函数的连续性

如果函数y = f (x) 在区间Ix上单调增加(或单调建设)且连续,那么它的反函数 x = f –1 (y) 也在对应的区间Iy = { y | y = f (x),x∈Ix } 上单调增加(或单调建设)且连续。如:

幂函数: f (x) = xn(n = 2k + 1)

反函数的连续性

(3) 复合函数的连续性

如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成,去心邻域U (x0) ⊂ D f·g,若

复合函数的连续性

而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续,则

复合函数的连续性

 

如果函数 y = f [g (x) ] 是由函数y = f (u) 与函数 u = g (x) 复合而成, U (x0) ⊂ D f·g,若u = g (x) 在 x = x连续,且g (x0) = u0,而函数 y = f (u) 在 u = u0 处连续,则符合函数 y = f [g (x) ] 在 x = x0 也连续。

 

 

4.  初等函数的连续性

基本初等函数在定义域内都是连续的

把上面3.(1)中的x0 改为函数的定义域,则可得:函数的和(差)f±g,积f·g,商f / g(当g (x) ≠0时)都其定义域内都是连续。如:

(1).  f (x) = lnx, g (x) = x, (f + g) (x) = lnx + x,   (f – g) (x) = lnx – x

初等函数的连续性

(2).   f (x) = sin x, g (x) = x,   (f · g) (x) = sinx · x,  (f / g) (x) = sinx / x,   (g / f) (x) = x / sinx

初等函数的连续性

 

这里请注意函数连续是必须定义在它的定义域内,如上面的 (g / f) (x) = x / sinx,当 x = kπ时, sin x = 0,  所以必须出去分母为0的点。

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