反证 | 玄数

2014-07-30

有些问题从正面难以下手,但从反面推理可以得出:从反面出发的假设是错误的。

例:  证明√2是无理数

证明:    假设√2是有理数,它可以表示为既约分数a/b,即 √2 = a/b, 则

a = √2b

a2 = 2b2

∵      2 b2是偶数

∴     a2也应该为偶数,a必是2的倍数,设 a = 2m,那么 a2 = 4m2,得

4m2 = 2b2

b2 = 2 m2

可知b也必是2的倍数,设b = 2n,这与假设 a/b = 2m/2n 是既约分数相矛盾

最后可得不可约,为无理数。

 

有时为了证明命题的真实性,不是从命题R,而是从它的否定命题R-出发,经过合理的推导,最后引出矛盾,从而得出命题R不得不真,这种方法称为反证法。 其一般包括三个步骤:

(1) 反设: 否定原命题的结论;

(2) 归谬: 依据反设推导出结论,反设即被否定;

(3) 结论: 肯定原命题成立。

反证法常被用于证明唯一性、无理性、无限性等问题。对一些从正面直接下手困难而反面却只有一两种之情形,适宜用反证法。

反证

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