克拉默法则 | 玄数

2018-06-08

从一般的二元方程组对应的二阶行列式二阶行列式 second order determinant

 
那是不是所有的n元线性方程组都能如此表示呢?

 
线性方程组

 


克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零,即
克拉默法则
那么方程组有且仅有唯一解
Cramers Rule

证明:
线性方程组

取系数行列式D的代数余子式A11,  A12, …  A1n
Cramers Rule

这证明了充分性,还有必要性,把
Cramers Rule

代入原线性方程组,得
Cramers Rule
∴ xi(i = 0, … n) 都满足原方程组

 

 
当方程两侧的常数项b1, b2, … bn 不全为0时,方程组是非齐次线性方程组.
D ≠ 0   <—> 方程组有且仅有唯一解
D = 0   <—> 方程组无解或有多个不同的解

 
而当b1 = b2 = … = bn = 0时,方程组则称为齐次线性方程组
齐次线性方程组
D ≠ 0   <—> 齐次线性方程组只有零解
D = 0   <—> 齐次线性方程组有非零解

 

 

克拉默法则