无限循环小数在什么地方开始循环 | 玄数

2014-10-21

当分子不能把分母除尽时,一定会某一位开始不断地出现循环吗?
循环无限小数 decimal recur

  • 1/3,第1次的余数就是1,小数从第2位开始循环,1/3 = 0.333 ···
  • 1/9,第1次的余数就是1,小数从第2位开始循环,1/9 = 0.111 ···

 

循环无限小数 decimal recur

  • 1/11,第1次的余数就是1,小数从第3位开始循环,1/11 = 0.0909 ···
  • 1/111,第1次的余数就是1,小数从第4位开始循环,1/111 = 0.009009 ···

 

循环无限小数 decimal recur

  • 1/7,第5次的余数就5,50 – 7 × 7 = 1,第6次的余数就是1,小数从第7位开始循环,1/7 = 0.142857142857 ···
  • 1/13,第4次的余数就4,40 – 13 × 3 = 1,第5次的余数就是1,小数从第6位开始循环,1/13 = 0.076923076923 ···

 

1 × 9 = 9,3 × 3 = 9,19 × 1 = 19,29 × 1 = 29,13 × 3 = 39,7 × 7 = 49,59 × 1 = 59,23 × 3 = 69,79 × 1= 79,89 × 1 = 89,11 × 9 = 99  … … 对于一般的 1/N(N是自然数,可以分解为除了2和5以外的因数),一定会在若干次的余数r时,在此余数后加0,得到10r。10r减去各位是9的数的乘积时,差必定为1,回复到分子是1的时候,循环开始。

循环无限小数 decimal recur

当分子不是1时,可看作 分子×(1/N)。实际上,只要余数 = 分子时,就开始循环。比如 2/3,只要余数2 = 分子2,就开始循环了,它的循环跟1/3是一样的。

当分母不是素数时,可以把分母进行因数分解,比如1/9可以看作是1/3  × 1/3,1/15可以看作是1/5  × 1/3。如果因数当中含有5,又可以在分子后面添若干0,再化简,找出最简时的形式,最后在小数点后补加上相应的0。如 1/15 = 0.0666 … 实际上是 2/3 再除以10,在分子1后添加1个0得10/15 = 2/3,2/3 = 0.666 … 。乘了10要再除以10,小数点后补上1个0得 0.0666 …

无限循环小数在什么地方开始循环