无限循环小数化分数 | 玄数

2014-09-18

一个无限循环小数一定可以写成分数形式吗?

 

1.   从第一位开始循环

方程法:

(1) 0.3333 … …

.                                    设 0.3333 … … = x, 10x = 3.3333 … …

.                                    10x – x = 3.3333 … …  –  0.3333 … …

.                                            9x = 3

.                                              x = 1/3

 

(2)0.1234512345 … …

.                                    设 0.1234512345 … … = x, 100000x = 12345.1234512345 … …

.                                    100000x – x = 12345.1234512345  … …  –  0.1234512345 … …

.                                            99999x = 12345

.                                                      x = 12345 / 99999

.                                                        = 4115 / 33333

等比数列法:

由等比数列的求和公式  等比数列的求和公式 geometric sequence求得,把

  • 这个数看成是一个“和”的形式
  • 循环项作为等比数列的首项a1
  • 由a2 /a1,找出公比q,当q<1时,q的n次幂→0,所以1 – qn → 1

 

(1) 0.1111 … …

.                                    0.1111 … … = 0.1 + 0.01 + 0.0001 + 0.00001  + … …

.                                                          = 0.1 × ( 1 + 0.1 + 0.01 + 0.0001 + … …)

.                                                          = 0.1 × (1 / 1 – 0.1)

.                                                          = 1 / 9

这里,a1 = 0.1,  q = a2 /a1 = 0.1

 

(2) 0.3333 … …

.                                    0.3333 … … = 0.3 + 0.03 + 0.0003 + 0.00003  + … …

.                                                          = 0.3 × ( 1 + 0.1 + 0.01 + 0.0001 + … …)

.                                                          = 0.3 × (1 / 1 – 0.1)

.                                                          = 1 / 3

 

(3)0.1234512345 … …

.                                    0.1234512345 … … = 12345 × (0.00001 + 0.0000000001 + 0.000000000000001 + … …)

.                                                                      = 12345× (1 / 1 – 0.00001)

.                                                                      = 12345 / 99999

.                                                                      = 4115 / 33333

 

(4) 0.0909 … …

.                                    0.0909 … … = 0.09 + 0.0009 + 0.000009 + 0.00000009 + … …

.                                                        = 0.09 × ( 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 + … …)

.                                                        = 0.09 × (1 / 1 – 0.01)

.                                                        = 1 / 11

 


 

2.   不从第一位开始循环

方程法:

0.236666 … …

.                                    设 0.236666 … … = x, 100x = 23.6666 … …

.                                                    100x – x = 23.6666 … …  –  0.236666 … …

.                                                             99x = 23.43

.                                                                  x = 2343 / 9900

.                                                                  x = 71 / 300

 

等比数列法:

.                                    0.236666 … … = 0.23 + 0.006666 … …

.                                                             =  0.23 + 0.006 + 0.0006 + 0.00006 + 0.000006 + … …

.                                                             =  0.23 + 0.006 × ( 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + … …)

.                                                             = 0.23 + 0.006 × (1 / 1 – 0.1)

.                                                             = 23 / 100  +  2 / 300

.                                                             = 71 / 300

无限循环小数化分数