定积分的概念与性质 | 玄数

2012-02-27

1.   曲边梯形的面积

设 f (x) 在区间 [a,b] 上非负、连续。由直线 x = a,x = b,y = 0以及y= f (x) 所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边。如何求曲边梯形的面积呢?

曲边梯形的面积

在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点:a = x0 < x1 < x2 … …x i–1 < xi … … < xn–1 < xn = b

把 [a,b] 分成n个小区间:[x0,x1],[x1,x2] … …[x i–1,xi] … … [x n–1,x n]

它们的长度依次为 △x1 = x1 – x0,△x2 = x2 – x1… …△xi = xi – x i–1 … … △x n = x n – x n–1

经过每一个分点做平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。在每个小区间 [x i–1,xi] 上任取一定ξ i,以 [x i–1,xi] 为底、f (ξ i) 为高的窄矩形近似代替地i个窄曲边梯形。如上图(1)的紫色分区。

把这样的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积S的近似值,即

曲边梯形的面积

从图中可看出 图(2)的橙色分区更多,矩形面积之和要比图(1)的的更接近曲边梯形的面积;而图(3)的绿色分区又要分得更细,矩形面积之和要比图(2)的的更接近曲边梯形的面积。

所以当所有小区间的的长度无限缩小时,即使其最大值→0,取λ = max {△x1,△x2 … …△xi… … △x n } →0,再取上式和的极限,便可的曲边梯形的面积

曲边梯形的面积

 

 

2.   定积分的定义

设函数f (x)在[a,b]上有界,在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点:

a = x0 < x1 < x2 … …x i–1 < xi … … < xn–1 < xn = b

把 [a,b] 分成n个小区间:

[x0,x1],[x1,x2] … …[x i–1,xi] … … [x n–1,x n]

它们的长度依次为

△x1 = x1 – x0,△x2 = x2 – x1… …△xi = xi – x i–1 … … △x n = x n – x n–1

在每个小区间 [x i–1,xi] 上任取一定ξ i([x i–1 ≤ ξ i ≤ xi),作函数f (ξ i) 与小区间长度△xi 的乘积,f (ξ i)△xi,并作出和

取λ = max {△x1,△x2 … …△xi… … △x n },如果不论对[a,b]怎么分法,也不论在小区间[x i–1,xi] 上点ξ i怎么取法,只要当λ→0时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数(x)在[a,b]上的定积分(Definite Integral),记作

其中f (x) 称为被积函数,f (x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a是积分下限,b是积分上限,[a,b]叫做积分区间

 

数学符号表示为:设有常数I,∀ε > 0,∃δ > 0,对[a,b]的任何分法,不论ξ i怎么取法,只要λ < δ,总有

定积分

 

定理1   设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,则f (x) 在 [a,b] 上可积。

定理2   设 f (x) 在区间 [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则f (x) 在 [a,b] 上可积。

 

 

3.  定积分的性质

定积分的性质

 

设M及m分别是函数f (x)在[a,b]上的最大值和最小值,则

定积分的性质

 

 

4.  积分中值定理(Integral mean value theorem)

如果函数f (x)在[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立:

integral mean value theorem

 

这个公式叫积分中值公式

积分中值定理 称为函数f (x)在[a,b]上的平均值。

定积分的概念与性质