玄数

1.   曲边梯形的面积

设 f (x) 在区间 [a，b] 上非负、连续。由直线 x = a，x = b，y = 0以及y= f (x) 所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。如何求曲边梯形的面积呢？

在区间 [a，b] 中任意插入若干个分点：a = x₀ < x₁ < x₂ … …x _i–1 < x_i … … < x_n–1 < x_n = b

把 [a，b] 分成n个小区间：[x₀，x₁]，[x₁，x₂] … …[x _i–1，x_i] … … [x _n–1，x _n]

它们的长度依次为 △x₁ = x₁ – x₀，△x₂ = x₂ – x₁… …△x_i = x_i – x _i–1 … … △x _n = x _n – x _n–1

经过每一个分点做平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。在每个小区间 [x _i–1，x_i] 上任取一定ξ _i，以 [x _i–1，x_i] 为底、f (ξ _i) 为高的窄矩形近似代替地i个窄曲边梯形。如上图（1）的紫色分区。

把这样的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积S的近似值，即

从图中可看出 图（2）的橙色分区更多，矩形面积之和要比图（1）的的更接近曲边梯形的面积；而图（3）的绿色分区又要分得更细，矩形面积之和要比图（2）的的更接近曲边梯形的面积。

所以当所有小区间的的长度无限缩小时，即使其最大值→0，取λ = max {△x₁，△x₂ … …△x_i… … △x _n } →0，再取上式和的极限，便可的曲边梯形的面积

2.   定积分的定义

设函数f (x)在[a，b]上有界，在区间 [a，b] 中任意插入若干个分点：

a = x₀ < x₁ < x₂ … …x _i–1 < x_i … … < x_n–1 < x_n = b

把 [a，b] 分成n个小区间：

[x₀，x₁]，[x₁，x₂] … …[x _i–1，x_i] … … [x _n–1，x _n]

它们的长度依次为

△x₁ = x₁ – x₀，△x₂ = x₂ – x₁… …△x_i = x_i – x _i–1 … … △x _n = x _n – x _n–1

在每个小区间 [x _i–1，x_i] 上任取一定ξ _i（[x _i–1 ≤ ξ _i ≤ x_i），作函数f (ξ _i) 与小区间长度△x_i 的乘积，f (ξ _i)△x_i，并作出和

取λ = max {△x₁，△x₂ … …△x_i… … △x _n }，如果不论对[a，b]怎么分法，也不论在小区间[x _i–1，x_i] 上点ξ _i怎么取法，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数(x)在[a，b]上的定积分（Definite Integral），记作

其中f (x) 称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a是积分下限，b是积分上限，[a，b]叫做积分区间。

数学符号表示为：设有常数I，∀ε > 0，∃δ > 0，对[a，b]的任何分法，不论ξ _i怎么取法，只要λ < δ，总有

定理1   设 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，则f (x) 在 [a，b] 上可积。

定理2   设 f (x) 在区间 [a，b] 上有界，且只有有限个间断点，则f (x) 在 [a，b] 上可积。

3.  定积分的性质

设M及m分别是函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值，则

4.  积分中值定理（Integral mean value theorem）

如果函数f (x)在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：

这个公式叫积分中值公式。

 称为函数f (x)在[a，b]上的平均值。

定积分的概念与性质

分类: 定积分, 微积分 标签: 定积分, 曲边梯形, 积分上限, 积分下限, 积分中值定理