1. 曲边梯形的面积
设 f (x) 在区间 [a，b] 上非负、连续。由直线 x = a，x = b，y = 0以及y= f (x) 所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。如何求曲边梯形的面积呢？
在区间 [a，b] 中任意插入若干个分点：a = x0 < x1 < x2 … …x i–1 < xi … … < xn–1 < xn = b
把 [a，b] 分成n个小区间：[x0，x1]，[x1，x2] … …[x i–1，xi] … … [x n–1，x n]
它们的长度依次为 △x1 = x1 – x0，△x2 = x2 – x1… …△xi = xi – x i–1 … … △x n = x n – x n–1
经过每一个分点做平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。在每个小区间 [x i–1，xi] 上任取一定ξ i，以 [x i–1，xi] 为底、f (ξ i) 为高的窄矩形近似代替地i个窄曲边梯形。如上图（1）的紫色分区。
把这样的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积S的近似值，即
从图中可看出 图（2）的橙色分区更多，矩形面积之和要比图（1）的的更接近曲边梯形的面积；而图（3）的绿色分区又要分得更细，矩形面积之和要比图（2）的的更接近曲边梯形的面积。
所以当所有小区间的的长度无限缩小时，即使其最大值→0，取λ = max {△x1，△x2 … …△xi… … △x n } →0，再取上式和的极限，便可的曲边梯形的面积
2. 定积分的定义
设函数f (x)在[a，b]上有界，在区间 [a，b] 中任意插入若干个分点：
a = x0 < x1 < x2 … …x i–1 < xi … … < xn–1 < xn = b
把 [a，b] 分成n个小区间：
[x0，x1]，[x1，x2] … …[x i–1，xi] … … [x n–1，x n]
它们的长度依次为
△x1 = x1 – x0，△x2 = x2 – x1… …△xi = xi – x i–1 … … △x n = x n – x n–1
在每个小区间 [x i–1，xi] 上任取一定ξ i（[x i–1 ≤ ξ i ≤ xi），作函数f (ξ i) 与小区间长度△xi 的乘积，f (ξ i)△xi，并作出和
取λ = max {△x1，△x2 … …△xi… … △x n }，如果不论对[a，b]怎么分法，也不论在小区间[x i–1，xi] 上点ξ i怎么取法，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数(x)在[a，b]上的定积分（Definite Integral），记作
其中f (x) 称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a是积分下限，b是积分上限，[a，b]叫做积分区间。
数学符号表示为：设有常数I，∀ε > 0，∃δ > 0，对[a，b]的任何分法，不论ξ i怎么取法，只要λ < δ，总有
定理1 设 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，则f (x) 在 [a，b] 上可积。
定理2 设 f (x) 在区间 [a，b] 上有界，且只有有限个间断点，则f (x) 在 [a，b] 上可积。
3. 定积分的性质
设M及m分别是函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值，则
4. 积分中值定理（Integral mean value theorem）
如果函数f (x)在[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：
这个公式叫积分中值公式。
称为函数f (x)在[a，b]上的平均值。
练习：
1. 利用定积分的几何意义，证明：
2. 利用定积分定义计算由抛物线 y = x2 + 1，两直线 x = a, x = b (b > a) 及横轴所围成的图形的面积。
3. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，证明：若在 [a, b] 上，f(x)≥0，且
，则在 [a, b] 上 f(x)≡0
