笛卡儿 Descartes | 玄数

2013-06-29
  • 1596—1650年,法国
  • 近代科学的始祖 —— 解析几何的诞生

笛卡儿Descartes
1596年3月31日笛卡儿生于拉埃那,1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩。法国哲学家,数学家,物理学家,解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型,提出了数学为基础,以演绎为核心的方法论,对后世的哲学、数学和自然科学发展起到了巨大的作用。

我们现在所用的直角坐标系,通常叫做笛卡儿直角坐标系。

 在笛卡儿所处的时代,代数还是一门比较新的科学,几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。1637年,笛卡儿发表了《几何学》,它确定了笛卡儿在数学史上的地位。

文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学,也接受了东方传入的代数学。科学技术的发展,使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处,而没有它们的缺点的方法”。

在《几何学》卷一中,他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置,用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何性质。

笛卡儿把几何问题化成代数问题,提出了几何问题的统一作图法。为此,他引入了单位线段,以及线段的加、减、乘、除、开方等概念,从而把线段与数量联系起来,通过线段之间的关系,“找出两种方式表达同一个量,这将构成一个方程”,然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。

在卷二中,笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时,在平面上以一条直线为基线,为它规定一个起点,又选定与之相交的另一条直线,它们分别相当于x轴、原点、y轴,构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x ,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出,方程的次数与坐标系的选择无关,因此可以根据方程的次数将曲线分类。

《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法,标志着解析几何学的诞生。此后,人类进入变量数学阶段。

在卷三中,笛卡儿指出,方程可能有和它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则:方程正根的最多个数等于其系数变号的次数;其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统,用a, b, c,…表示已知量,用x, y, z,…表示未知量。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的“数”与“形”统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见,更为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域。

正如恩格斯所说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辨证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了。” 

笛卡儿是一位机械论者,他认为宇宙中无论天上还是地上,到处充满着的物质和运动,他将运动定义为位移运动(即力学运动)。他提出,运动守恒原理使宇宙处在永恒的力学运动之中。人造的机器与自然界中的物体没有本质的差别,两者所不同的是,人造机器的每一部分都是我们很明确地看到的。他相信,人体本质上是一架机器,他的机能均可以用力学加以解释。

笛卡儿的方法论对于后来物理学的发展有重要的影响。他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法:以唯理论为根据,从自明的直观公理出发,运用数学的逻辑演绎,推出结论。这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来,经过惠更斯和牛顿等人的综合运用,成为物理学特别是理论物理学的重要方法。作为他的普遍方法的一个最成功的例子,是笛卡儿运用代数的方法的来解决几何问题,确立了坐标几何学即解析几何学的基础。

笛卡儿的方法论中还有两点值得注意。第一,他善于运用直观“模型”来说明物理现象。例如利用“网球”模型说明光的折射;用“盲人的手杖”来形象地比喻光信息沿物质作瞬时传输;用盛水的玻璃球来模拟并成功地解释了虹霓现象等。第二,他提倡运用假设和假说的方法,如宇宙结构论中的旋涡说。此外他还提出“普遍怀疑”原则。这一原则在当时的历史条件下对于反对教会统治、反对崇尚权威、提倡理性、提倡科学起过很大作用。

 

从梦中来的新方法:

1620年深秋的一个夜晚,德国乌尔姆小镇旁的一排军用帐篷里,一位年轻的士兵还未睡着,他叫笛卡儿。

笛卡儿有一个怪习惯,喜欢躺在床上思考问题。他经常深思如何用代数中的“数”去描述几何中的“形”,用代数中的“计算”去代替几何中的“证明”。今天,他望着射进帐篷的一缕月光,又想起天上的繁星,如何表示这天上每一颗星星的位置呢?当然,可以画一张图,但天上的星星那么多,而且星空也在不断地变化,不好画呀,即使画出来了,当别人要你指出某一颗星星时,你还得拿出整张图来,多不方便。画图不行,能否用几个数字来表示呢?

也许是白天训练太劳累,今天笛卡儿太疲倦了……

不一会儿,笛卡儿忽然听见一阵脚步声,并且越来越响,是长官来检查军营了。那长官揭开了笛卡儿的被子,将他拉了起来,并把他推出了帐篷。

“长官,今天你怎么啦?”笛卡儿弄不清怎么回事。

“你不是整天在想,要用数字来表示天上星星的位置吗?乘今日夜深人静,我把你叫出来,告诉你一个绝妙的办法。”笛卡儿听完长官这一段话,才放下心来。

长官从身后抽出两支箭,将它们搭成一个“十”字架,并将这“十”字架举过头说:“笛卡儿,你看,我们可把天空看作一个平面,这‘十’字架将平面分成4个部分。假定我这两支箭能射无限远,天上这么多星星,随便哪一颗,只要向这两支箭上分别引出两条垂直线,你就会得出两个数字,这颗星星的位置,不就一清二楚了吗!”

笛卡儿听完后说:“你把我从被窝里拉出来,就说这个?我还以为你有什么新招,画坐标古希腊人就会使用,难就难在交点以下的数字,如何表示?”

长官笑道:“你怎么聪明一世,糊涂一时,将这两支箭的交点定为零,向上向右的为正,向下向左的为负,就可以了。同样,如果我们把乌尔姆镇定在交叉点,为零,那么我们军队行军的位置,不就随时可用两个正负数来表示了吗?”

笛卡儿高兴地拍了一下军官的脑袋:“这真是个好主意!”

这时,笛卡儿兴奋不已,叫着:“终于解决了!”

突然,他觉得有人重重地揍了他一下。这时,笛卡儿才清醒了,原来,刚才只是做了一个梦。不过这个奇特的梦却启动了他的思索,他后来说:“第二天,我开始懂得这惊人发现的基本原理。”

笛卡儿 Descartes