1.   一块正方形金属片的边长是x₀，热胀后变为x₀ + △x，问：它的面积改变了多少？

原来的面积是 S = x₀²，热胀后的面积是 (x₀ + △x)²，那么改变了

△S = (x₀ + △x)² – x₀² = 2 x₀·△x + (△x)²

2 x₀·△x + (△x)² 分为两部分：第一部分2 x₀·△x 是 △x 的线性函数，即图中两个绿色矩形面积之和，第二部分(△x)² 是右上角黄色的小正方形面积，当△x→0 时，(△x)² 是比△x 高阶的无穷小，即 (△x)² = o (△x)。

所以，当热胀冷缩引起的边长变化很小时，即 当| △x | →0 时，△S 可近似地用第一部分来代替：△S ≈ 2 x₀·△x

对于一般的函数 y = f (x)，如果函数的增量 △y 可表示为

△y = A△x + o (△x)

其中A是不依赖于△x的常数，且 △y – A△x = o (△x) 是比△x 高阶的无穷小。当A≠0 且| △x | →0 时，我们可用A△x 来近似地表示△y

2.   微分的定义

设函数 y = f (x) 在某区间内有定义，x₀ 及x₀ + △x在这区间内，如果函数的增量

△y = f (x₀ + △x) – f (x₀)

可表示为

△y = A△x + o (△x)              （1）

其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数 y = f (x) 在 x₀是可微的，而A△x 叫做函数 y = f (x) 在 x₀ 相应于自变量增量△x 的微分，记作 dy，即 dy = A△x

把（1）式两边除以△x 得

当 △x →0 时，

因此，如果函数 y = f (x) 在 x₀可微，则 y = f (x) 在 x₀ 也一定可导，反之，如果y = f (x) 在 x₀ 可导，即

根据极限与无穷小的关系，上式可写成

其中α→0（当△x →0），因此又可得

△y = f′ (x)△x +α△x

α△x = o (△x)，f′ (x) 不依赖于△x，所以可导也可微。

函数 y = f (x) 在 x₀可微的充分必要条件是：函数 y = f (x) 在 x₀可导。并且f (x) 的微分是   dy = f′ (x₀) △x

函数在任意点x的微分，称为函数的微分，记作 dy 或 d f (x)，即

dy = f′ (x) △x

通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分，记作dx，即dx = △x，于是函数的微分又可表示为

dy = f′ (x) dx

3.  微分的几何意义

正方形的面积S = x²，现在以函数 f (x) = x² 来说明，在曲线上任取一点M(x₀，y₀)，当自变量x有微小增量△x时，就得到函数曲线上的另一点N(x₀ + △x，y₀+△y)：

MO =  △x

NO = △y

现过点M作曲线的切线交 NO 于点P ，则

OP = MP · tan α = △x · f′ (x) = dy

当△y是曲线 f (x) 上点的纵坐标的增量时， dy就是曲线的切线上点的纵坐标的增量。当 | △x | 很小时，| △y – dy | 比 △x 小得多，也就是当 △x →0 时，| △y – dy | = o (△x) 是比△x 高阶的无穷小。

在点M的附近，我们可用切线段来近似替代曲线段。而且对于函数 f (x) = x²，它在点 x₀ 的的切线是y = 2x + b，它 的微分是 dy = 2x₀·dx，与正方形面积的增量△S = (x₀ + △x)² – x₀² = 2 x₀·△x + (△x)²， 当| △x | →0 时，△S ≈ 2 x₀·△x 是一致的。

微分是用来作近似计算的。

函数的微分

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