函数的微分 | 玄数

2012-02-26

1.   一块正方形金属片的边长是x0,热胀后变为x0 + △x,问:它的面积改变了多少?

微分

原来的面积是 S = x02,热胀后的面积是 (x0 + △x)2,那么改变了

△S = (x0 + △x)2 – x02 = 2 x0·△x + (△x)2

2 x0·△x + (△x)2 分为两部分:第一部分2 x0·△x 是 △x 的线性函数,即图中两个绿色矩形面积之和,第二部分(△x)2 是右上角黄色的小正方形面积,当△x→0 时,(△x)2 是比△x 高阶的无穷小,即 (△x)2 = o (△x)。

所以,当热胀冷缩引起的边长变化很小时,即 当| △x | →0 时,△S 可近似地用第一部分来代替:△S ≈ 2 x0·△x

 

对于一般的函数 y = f (x),如果函数的增量 △y 可表示为

△y = A△x + o (△x)

其中A是不依赖于△x的常数,且 △y – A△x = o (△x) 是比△x 高阶的无穷小。当A≠0 且| △x | →0 时,我们可用A△x 来近似地表示△y

 

2.   微分的定义

设函数 y = f (x) 在某区间内有定义,x0 及x0 + △x在这区间内,如果函数的增量

△y = f (x0 + △x) – f (x0)

可表示为

△y = A△x + o (△x)              (1)

其中A是不依赖于△x的常数,那么称函数 y = f (x) 在 x0可微的,而A△x 叫做函数 y = f (x) 在 x0 相应于自变量增量△x 的微分,记作 dy,即 dy = A△x

 

把(1)式两边除以△x 得

微分

当 △x →0 时,

微分

因此,如果函数 y = f (x) 在 x0可微,则 y = f (x) 在 x0 也一定可导,反之,如果y = f (x) 在 x0 可导,即

微分

根据极限与无穷小的关系,上式可写成

微分

其中α→0(当△x →0),因此又可得

△y = f′ (x)△x +α△x

α△x = o (△x),f′ (x) 不依赖于△x,所以可导也可微

 

函数 y = f (x) 在 x0可微的充分必要条件是:函数 y = f (x) 在 x0可导。并且f (x) 的微分是   dy = f′ (x0) △x

 

函数在任意点x的微分,称为函数的微分,记作 dy 或 d f (x),即

dy = f′ (x) △x

 

通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分,记作dx,即dx = △x,于是函数的微分又可表示为

dy = f′ (x) dx

 

 

3.  微分的几何意义

微分

正方形的面积S = x2,现在以函数 f (x) = x2 来说明,在曲线上任取一点M(x0,y0),当自变量x有微小增量△x时,就得到函数曲线上的另一点N(x0 + △x,y0+△y):

MO =  △x

NO = △y

现过点M作曲线的切线交 NO 于点P ,则

OP = MP · tan α = △x · f′ (x) = dy

当△y是曲线 f (x) 上点的纵坐标的增量时, dy就是曲线的切线上点的纵坐标的增量。当 | △x | 很小时,| △y – dy | 比 △x 小得多,也就是当 △x →0 时,| △y – dy | = o (△x) 是比△x 高阶的无穷小。

在点M的附近,我们可用切线段来近似替代曲线段。而且对于函数 f (x) = x2,它在点 x的的切线是y = 2x + b,它 的微分是 dy = 2x0·dx,与正方形面积的增量△S = (x0 + △x)2 – x02 = 2 x0·△x + (△x)2, 当| △x | →0 时,△S ≈ 2 x0·△x 是一致的。

微分是用来作近似计算的。

函数的微分