整除 —— 被2、3、4、5、7、9、11、13整除的数 | 玄数

2012-02-02

1.   整除的概念

设a、b为整数,且b≠0,如果存在正数q,使得a = bq,那么称b整除a,或者a能被b整除(Divisible),记作 b | a,并且称b是a的因数(Factor),a是b的倍数(Multiple)。如果这样的整数q不存在,就称b不整除a,记作b∤a。 如: 2 | 8,   5 | 100,  37 | 111, 6∤21, 4∤–41

 

 

2.   整除的性质

(1)若 a | b,b | a,则 a = ±b

(2)若 a | b,b | c,则 a | c。如:2 | 8,8 | 32 → 2 | 32

(3)若 a | b,a | c,则对任意整数x、y,有 a | bx + cy。如:3 | 6,3 | 9 → 3 | 6x +9y

 

 

3.   带余除法

设a、b为整数,且b≠0,则存在唯一的一对整数q和r,使得 a = bq + r,0 ≤ r < | b |。如:

  • 17 = 4×4+1 = 3×5+2 = 2×6+5 = 2×7+3 = 2×8+1,
  • 101 = 10×10+1 = 8×12+5 = 5×20+1 = 3×33+2

 

 

能被2、3、4、5、7、9、11、13整除的数的特点

 

2.   偶数:个位是2、4、6、8

 

 

3.  各位数字之和能被3整除

  • 123 —— 1 + 2 + 3 = 6,3 | 123;
  • 123456789 —— 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 —— 4 + 5 = 9,3 | 123456789

 

证明:设各位上的数字分别为a、b、c、d,则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

.                                1000a+ 100b +10c+ d

.                            = 999a+ a + 99b + b +9c+ c + d

.                            =(999a+ 99b +9c)+(a + b + c + d)

∵                         3 | 999a + 99b + 9c

∴                         只需要3 | a + b + c + d,就可保证 3 | 1000a + 100b + 10c + d

 

 

4.   最后两位数能被4整除

如:4 | 316; 4 | 51708

 

证明:设各位上的数字分别为a、b、c、d,则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

∵                         4 | 1000a + 100b

∴                         只需要4 | 10c + d,就可保证 4 | 1000a + 100b + 10c + d

 

 

5.   个位上的数是0或者5

如:5 | 300;  5 | 1025

 

 

9.  各位数字之和能被9整除

证明跟3的一样。

 

 

7、11、13.  有共同之特点:

把数从右到左每三位进行拆分,并相减,若相减后的数能够被7,或者11,又或者13整除,那么这个数就可以被其整除。

 

证明:设各位上的数字分别为a、b、c、d、e、f,

则这个数可表示为 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

并且从右到左每三位进行拆分:abc | def

∵                   7 × 11 × 13  = 1001

∴                   100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

.                  = 100(1000a+ d)+ 10(1000b + e)+1000c+ f

.                  = 100(1001a– a + d)+ 10(1001b – b + e)+1001c– c + f

.                  = 1001(100a+ 10b + c)–(100a+ 10b + c)+(100d + 10e + f)

∵                   1001(100a+ 10b + c)均能整除7、11、13

∴                  只需要考察(100d + 10e + f)–(100a+ 10b + c)

.                     按顺序写(100a+ 10b + c)–(100d + 10e + f)整除可否与上式一致

整除7,11,13

相减后的数能够被7,或者11,又或者13整除,那么这个数就可以被其整除。

 

<1>.   若位数更高的可继续拆分,abcdef | ghi,此时减后再减;或者拆分为abc | def | ghi,用首尾相隔的三位数相加,再减去夹在中间的。

如:123456789×7 = 864197523

(1)864197 | 523     →     864197 – 523 = 863 | 674     →     863 – 674 = 189 可整除7

(2)864 | 197 | 523     →     864 + 523 – 197 = 1190     →     190 – 1 = 189 可整除7

验证完毕。

 

<2>.   而判断能否整除7的方法还有:除去个位上的其它所有的数 – 个位数的两倍。数学符号表示为:设一个数表示为10x + y,判断 x – 2y 是否可被7整除。

∵    若 7 | x – 2y

必定可以推出 7 | 10(x – 2y)  →   7 | 10x – 20y   →   7 | 10x – 21y + y   →   7 | 10x + y

但这种方法x – 2y 与10x + y 只相差约10倍,计算量并不能够大大地减少,有可能会更繁复,倒不如直接相除看能不能够除尽。

如:123456789 × 7 =864197523

86419752 – 2×3 = 86419746

8641974 – 2×6 = 8641962

864196 – 2×2 = 864192

86419 – 2×2 = 86415

8641 – 2×5 = 8631

863 – 2×1 = 861

86 – 2×1 = 84 可以被7整除

验证完毕。

 

<3>.  判断能否整除11的方法还有更简单的:奇数位数字之和 – 偶数位数字之和,如果得到的差可以整除11,此数便能整除11。

证明:设各位上的数字分别为a、b、c、d,则这个数可表示为 1000a + 100b + 10c + d

1000a+ 100b +10c+ d

=1001a– a + 99b + b +11c– c + d

=(1001a+ 99b +11c)+(b + d)–(a + c)

∵    11 | 1001a + 99b +11c

∴    只需要11 |(b + d)–(a + c),就可保证 11 | 1000a + 100b + 10c + d

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