向量点乘,叉乘 | 玄数

2017-11-15

1. 向量的点乘Dot Product(数量积,內积)(Inner Product)

(1)平面向量点乘原理

                             a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                     = x1 x2 i2 +(x1y2 + x2 y1i j + y1 y2 j2

∵                               i =(1,0),j =(0,1)

∴                               i2 =(1,0)·(1,0)= 1,

                                   j2 =(0,1)·(0,1)= 1

                                   ij =(1,0)·(0,1)=0

∴                                a · b = x1x2 + y1y2

 

在n维向量中             a · b = ∑ai·bi

两个向量的点乘 = 他们对应分量乘积的和

 

(2)几何解释
向量点乘 dot product
                                            a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                                    = (|a|cosαi + |a|sinαj) · (|b|cosβi + |b|sinβj)

.                                                    = |a|·|b|(cosαcosβ + sinαsinβ)

.                                                    = |a|·|b| cos(α-β)
三角函数和差公式
 


向量点乘 dot product
a·b = |a|·|b| cos <ab >, <ab > 是ab的夹角。

|a|cosθ 是ab上的投影(Projection),|b|cosθ 是ba上的投影

|a|·|b|cosθ就是描述了两个向量的相似程度,点乘的结果越大,表示两个向量越接近。

 

零向量与任一向量的数量积为0,零向量和任意向量都垂直ab   ←→   a·b = 0

a b同向时,a·b = |a||b|;当a b反向时,a·b = – |a||b|

 

(3)点乘的计算法则

.                                                   a · a = | a |2

.                                                   | a · b | ≤|a||b|

.                                                   a · b = b · a

.                                                   (λa)· b = λ(a · b)= a ·(λb

.                                                   (a + b)· c = a · c + b · c

 

 

2.  向量的叉乘Cross Product(矢量积,外积)(Outer Product)

(1)
向量叉乘 cross product
向量叉乘 cross product
向量的叉乘是一个用三阶行列式表示的向量,方向垂直于ab两向量决定的平面,根据右手定则、左手定则时会不同,上图采用右手定则。大小是ab两向量所围成的平行四边形的面积

|a×b|= |a|·|b|sinθ

 

零向量与任一向量的叉乘为0,零向量和任意向量都平行a//b   ←→   a×b = 0

 

(2)
向量叉乘 cross product

根据坐标轴的叉乘可得

i×j = k               j×i = -k
j×k = i               k×j = -i
k×i = j               i×k = -j

 

 

练习:

1. 若向量a, b, c满足 a // b, 且ac, 则c(a + 2b) =( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0

 
2. 一质点收到平面上的三个力F1, F2, F3的作用而处于平衡状态. 已知F1, F2成60°角, 且F1, F2的大小分别是2和4, 则F3的大小为( )
A. 2√7
B. 2√5
C. 2
D. 6

 
3. 已知向量a, b满足(a + 2b)·( ab) = -6. 且| a | = 1, | b | = 2, 则ab的夹角为         .

 
4. 已知三点A(1, 1, 1), B(2, 3, 2), C(6, -1, -2).
求:∠ABC.

 

 

English:

dot, cross

 

 

向量点乘,叉乘