矩阵的初等变换 | 玄数

2018-08-07

一、下面的三种变换称为矩阵的初等变换

  • 对换两行(列), 记作ri ↔ rj, ci ↔ cj
  • 以数k乘以一行(列)中的所有元素 (k≠0), 记作ri × k,  ci × k
  • 以数k乘以一行(列)中的所有元素, 再加到另一行(列)对应的元素上去, 记作ri + k rj,  ci + k cj

如下图:
初等变换

矩阵的这三种初等变换都是可逆的,把进行了初等变换的矩阵变回原来的状态:

  • ri ↔ rj 的逆变换同为ri ↔ rj, 把这两行在对换一次
  • ri × k的逆变换为ri × (1/k)
  • ri + k rj 的逆变换为 ri – k rj

 

二、由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

(1) 对调两行或两列
elementary matrices

(2) 以数k乘以某行(列) (k≠0)
初等矩阵
 

(3) 以数k乘以某行(列)加到另一行(列)上去
初等矩阵
 

对矩阵A m×n 施行一次初等行变换,相当于在A左边乘以一个m阶初等矩阵;对A m×n 施行一次初等列变换,相当于在A右边乘以一个n阶初等矩阵。 以一个三阶矩阵为例
初等变换

 

 

矩阵的初等变换