椭圆 | 玄数

2012-03-05

 

1.  椭圆及其标准方程

平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆(Ellipse)。这两个定点叫做椭圆的焦点(Focal Point),两焦点间的距离叫做焦距(Focal Length)。

椭圆

以经过椭圆两焦点F1、F2 的直线为x轴,线段F1 F2 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系。设焦点F1、F2 的坐标分别为(–c,0)、(c,0),则焦距为2c。设M(x,y)是椭圆上任意一点,有设点M与F1、F2 的距离的和等于2a,由此可得| MF1 | + | MF2 | =2a

ellipse
ellipse

当点M运动到y轴时,| M F1 | = | M F2 | = a,| M O | =√a2 – c2,令 b2 = a2 – c2,就得到了椭圆的标准方程:椭圆的标准方程

 
 

2.  椭圆的性质

(1)椭圆关于x轴、y轴原点对称。

(2)椭圆与坐标轴的4个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2 = 2a、B1B2 = 2b 分别叫做椭圆的长轴、短轴。另外还有A1 B1 = √a2 + b2

(3)如下图所示,保持a不变,改变c,可以发现,当c越接近a,椭圆就越扁平。把椭圆的焦距与长轴的比c/a 称为椭圆的离心率(Eccentricity):e = c/a

椭圆的性质

 

 

练习:

1. “ m > n > 0 ” 是 “方程 mx² + ny² = 1 表示焦点在y轴上的椭圆” 的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

 
2. 过椭圆(a > b > 0) 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2 = 60°,则椭圆的离心率为    

 
3. 已知椭圆G: ¼x² + y² = 1 过点 (m, 0) 作圆 x² + y² = 1 的切线 l 交椭圆G于A, B两点。
(1)求交椭圆G的焦点和离心率;
(2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值。

 

 

椭圆

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