一元二次方程 | 玄数

2011-12-09

1.   一元二次方程(Quadratic Equation in One Unknown)

含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,经过整理,可化为一般式为 ax2 + bx + c = 0  ( a ≠ 0 )。如:

  • 4x2 + 2x + 1 = 0    →    x2 + 1/2 x + 1/4 = 0
  • 6x2 – 9 = 0    →   x2 -3/2 = 0        ( b = 0 )
  • x2 = -25x     →    x2 + 25x = 0        ( c = 0 )

 

 解二元一次方程

1.  配方法:把方程化为完全平方的形式:


.                                      x2 + 4x + 3 = 0
.                                      x2 + 4x + (3 + 1) = 1
.                                      x2 + 4x + 4 = 1
.                                      (x + 2)2 = 1
.                                      x + 2 = ±1
.                                      x1 = -1,  x2 = -3
 

2.  公式法:
一元二次方程求解过程
△ = b– 4ac 是方程的判别式

  • b– 4ac >0, 方程有两个不相等的实数根
  • b– 4ac =0, 方程有两个相等的实数根 -b/2a
  • b– 4ac <0, 方程无实数根(在实数范围内无解)

 

3.   因式分解法:把方程化为两个因式相乘的形式   (x – x1) (x – x2) = 0

.                                      x2 + 4x + 3 = 0
.                                      (x – 1) (x – 3) = 0
.                                      x -1 = 0   或   x – 3 = 0
.                                      x1 = -1,  x2 = -3

 

4.   根与系数的关系:

(x – x1) (x – x2) = 0 化成一般式得  x2 – (x1 + x2) x + x1x2 = 0, 与 ax2 + bx + c = 0 对比可得:

  • x1 + x2 = -b/a
  • x1x2  = c/a

 

5.   根要符合题意

在解应用题时还得结合实际情况,可能其中的一个解,甚至两个解是不合题意的。比如长方形的宽只能是4cm,另一个解 -6 不合题意,因为长方形的宽不可能是负数。