二元一次方程组 —— 鸡兔同笼问题详解 | 玄数

2011-11-25

1. 二元一次方程(Linear Equation of Two Unknowns):

含有两个未知数,通常是 x、y,并且未知数的项的次数都是1,如

  • x + y = 10
  • 5x + 11y = 33
  • 2x – y = 7
  • -4x + 8y = 9

 

 

2.  二元一次方程组(System of Linear Equation of Two Unknowns):

把上面任意两个方程组和起来就可以得到一个二元一次方程组
System of Linear Equation of Two Unknowns

 

 

3.  解二元一次方程组:消元法

消去其中的任意一个未知数。如根据上面第一组方程组中的(1),可以消去x,得
                                 y = 10 – x;
也可以消去y,得
                                 x = 10 – y
然后代入到(2)中,就成了一元一次方程,便可解出。 在第二组方程组中的(3),可以消去x,得
                                 y = 2x – 7
也可以消去y,得
                                 x = (y+7)/2
当然,要考虑消去哪一个未知数更好解。

 

 

4.  鸡兔同笼问题:

chicken rabbit

鸡和兔共有5个头,14只脚。问各有多少只鸡和兔?

 

设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据x只鸡有2x只脚,y只兔又4y只脚,可列出二元一次方程组
equation21

解得
equation21

 

“鸡兔同笼”问题,是我国古代著名趣题之一,来源于《孙子算经》。原文“今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?” 上面的例子只是该换一下数字,便于画图与计算。

 

 

5.  与一元一次方程和算术的比较

在解二元一次方程组时,要消去其中的一个未知数,代入到另外的一个方程去解。这时,便成了解一元一次方程了。那么是不是能够用二元一次方程组解决的问题,转化为一元一次方程的思路来解决,也是可以的呢?请看下图,剩下的,你懂的。

chicken rabbit

 

而在《初识方程 —— 一元一次方程》中曾提到:能够只用一元一次方程解决的简单数学问题,很多都可以用算术算出来。那么由上面说的,一元一次方程也可以解出列二元一次方程组的问题,那么,是不是算术也可以呢?“鸡兔同笼”问题其实也有多种算术求解方法,下面展示其中的一种

鸡兔同笼

 

 

另附: 二阶行列式解二元一次方程组