欧拉 Euler | 玄数

2013-07-26
  • 1707—1783年,瑞士
  • 读读欧拉,这是我们一切人的老师

欧拉 Euler
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但在数学上作出伟大贡献,而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外,他的全集有74卷。

欧拉小时候就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过,可小欧拉却读得津津有味,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教。1720年,13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰•伯努利(Johann Bernoulli,1667—1748年)的精心指导。这在当时是个奇迹,曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学,也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。

欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作,当时数学家们称他为“分析学的化身”。

他也是科学史上最多产的一位杰出的数学家,据统计他那不倦的一生,共写下了886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了47年。

欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支,如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础。

欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出了ξ函数在偶数点的值,他证明了a2k是有理数,而且可以伯努利数来表示。此外,他对调和级数亦有所研究,并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209 ……

在18世纪中叶,欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中,创立了微分方程这门学科。其中在常微分方程方面,他完整地解决了 n阶常系数线性齐次方程的问题,对於非齐次方程,他提出了一种降低方程阶的解法;在偏微分方程方面,欧拉将二维物体振动的问题,归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。

在微分几何方面,欧拉引入了空间曲线的参数方程,给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年,他出版了《关於曲面上曲线的研究》,这是欧拉对微分几何最重要的贡献,更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为z=f(x, y),并引入一系列标准符号以表示 z对 x, y的偏导数,这些符号至今仍通用。此外,在该著作中,他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。

欧拉在分析学上的贡献不胜枚举,如他引入了G函数和B函数,这证明了椭圆积分的加法定理,以及最早引入二重积分等等。

在代数学方面,欧拉发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积,即a + bi的形式。他还给出了费马小定理的三个证明,并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n),他研究数论的一系列成果使得数论成为数学中的一个独立分支。 欧拉又用解析方法讨论数论问题,发现了ξ函数所满足的函数方程,并引入欧拉乘积。而且还解决了着名的哥尼斯堡七桥问题,创立了拓扑学。

欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中都能经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的。欧拉还创设了许多数学符号,例如π(1736年),i(1777年),e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),Σ(1755年),f(x)(1734年)等。

欧拉的记忆力和心算能力是罕见的,他能够复述年青时代笔记的内容,心算并不限于简单的运算,高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领,欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来,算到第50位数字,两人相差一个单位,欧拉为了确定究竟谁对,用心算进行全部运算,最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中;还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的,拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家,从19岁起和欧拉通信,讨论等周问题的一般解法,这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉格朗日的解法,博得欧拉的热烈赞扬,1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就,并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表,使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传,并赢得巨大的声誉。他晚年的时候,欧洲所有的数学家都把他当作老师,著名数学家拉普拉斯(Laplace)曾说过:“欧拉是我们的导师。”欧拉充沛的精力保持到最后一刻,1783年9月18日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭,那时天王星刚发现不久,欧拉写出了计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝完茶后,突然疾病发作,烟斗从手中落下,口里喃喃地说:“我死了”,欧拉终于“停止了生命和计算”。

欧拉 Euler