费马大定理 | 玄数

2012-04-13

费马(1601~1665)是法国的一位才华横溢的数学家,但他的本职工作是律师,他利用业余时间研究数学。而且他的研究成果不会公开发表,只是记录在与友人的信件中,或是批录在书中的空白边上。

他阅读了丢番图的《算术》,其中讲了有关勾股定理和不定方程x2 + y2 = z2 的整数解。他在旁边的空白处写上他的发现:当n≥3时,不定方程xn + yn = zn 没有正整数解。但他同时也写到:我确信已经找到了令人惊异的证明,但书边太窄,我无法把它写下。

这引起人们极大的兴趣。费马儿子翻箱倒柜,查遍了他父亲的藏书、遗稿及其他遗物,盼望能找到那个“令人惊异”的证明,却终无所获。许多优秀的数学家也为此付出了巨大的努力,但都以失败告终。人们开始怀疑费马是否充分论证过他的定理,然而,要寻找出一个反例来否定它,即:当n≥3时,不定方程xn + yn = zn 存在正整数解,似乎更加艰难。

第一个富有历史性的突破是在1779年,欧拉采用无限递降法,成功地证明了当n = 3和n = 4时费马的猜测是正确的。此后,问题又沉寂了半个世纪。到了1823年,法国数学家勒让德重新吹响了进军号,证明了n = 5时费马的猜想是成立的。之后,指数n的记录越来越大,当n推进到100时,前后经历了二百年的漫长岁月,终于使人们对这问题刮目相看了。
法兰西科学院曾两度悬赏2000金法郎,来征求对费马定理的一般性证明。随而指数n 又往上得到提升,但还未有一般性的证明。

到了20世纪,德国著名数学家希尔伯特在巴黎召开的国际数学大会上提出了23个20世纪要攻克的难题,其中就包括了对费马定理的证明。1908年,德国哥廷根科学院决定以10万马克的巨额悬赏,征求对此定理的完整证明,限期为100周年。在20世纪计算机科学出现后,通过借助计算机技术,科学家又把n 往上提升了很多,只是一般性的完整证明还未出现。

但可以庆幸的是就在这世纪末,曙光终于出现了!是由英国的数学家威利斯(Andrew Wiles)。威利斯在1993年的6月21日于美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是威利斯与他的学生又花了14个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束。1997年6 月,威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的10马克约为两百万美金,不过威利斯领到时,只值五万美金左右,但威利斯已经名列青史,永垂不朽了。

其实威利斯是利用20世纪过去30年来抽象数学发展的结果加以证明。50年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想,后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在80年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起,而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的。

可是,话题又说回来,如果当年费马果真只用当时的数学知识就“惊异”的证明了这一定理,而后来人们要用到如此复杂的新知识,那是不是后来人的思考能力稍微逊色一点呢?又或者说,费马的脑袋比我们都聪明。