整数裂项公式、常用公式及其证明 | 玄数

2019-05-11

1. 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2
 
2. 1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n×(n + 1) = n(n + 1) (n + 2) / 3
 
3. 1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + … + n×(n + 1)×(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/ 4
 
4. 1×n + 2×(n – 1) + 3×(n – 2) + … + (n – 1)×2 + n×1 = n(n + 1) (n + 2) / 6

 

推导证明:
1. 等差数列求和公式

 
2.
1×2 = (1×2×3 – 0×1×2) / 3
2×3 = (2×3×4 – 1×2×3) / 3
3×4 = (3×4×5 – 2×3×4) / 3
n×(n + 1) = [ n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) ] / 3

∴ 原式
= (1×2×3 – 0×1×2) / 3 + (2×3×4 – 1×2×3) / 3 + (3×4×5 – 2×3×4) / 3 + … + [ n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1) ] / 3
= n(n + 1)(n + 2) / 3

 
3. 证法同上:每一项都拆分为两个4项连续数字相乘的差,然后互相抵消

 
4.
方法一:把 (n – 1) 拆分成2个相加,(n – 2) 拆分成3个相加,(n – 3) 拆分成4个相加… … 可转为多个等差数列相加,最大的一项分别是n、(n – 1)、(n – 2) … …
原式
= [ n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 ] + [ (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 ] + [ (n – 2) + (n – 3) + … + 2 + 1 ] + … + (2 + 1) + 1
n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = n (n + 1) / 2
(n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = (n – 1) n / 2
(n – 2) + (n – 3) + … + 2 + 1 = (n – 2) (n – 1) / 2
… …
2 + 1 = 2×3 / 2
1 = 1×2/2

∴ 原式 = [ 1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n×(n + 1) ] / 2

利用第2个裂项公式的结果,原式 = [ n (n + 1) (n + 2) / 3 ] / 2 = n (n + 1) (n + 2) / 6

 
方法二: 把每一项竖着来写
formula
原式
= 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3 + 4) + … + (1+2+3 + … + n)
= [ 1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n(n+1) ] / 2
= [ n (n + 1) (n + 2) / 3 ] / 2 = n(n + 1) (n + 2) / 6

 
方法三:没一项中的多个单项式和多项式的和不变 ——
1 + n = 2 + (n-1) = 3 + (n-2) = … = n+1
原式
= 1×(n+1-1) + 2×(n+1-2) + 3×(n+1-3) + … + n×(n+1-n)
= (1 + 2 + 3 + … + n) ×n – (12 + 22 + 32 + … + n2)
= n(n + 1)×n / 2 – n(n + 1)(2n + 1) / 6 (根据下面第5条)
= n(n + 1) (n + 2) / 6

 
 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
 
 
5. 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
 
6. 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 = (2n – 1)×2n×(2n + 1) / 6
 
7. 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 = n2 (n + 1) 2 / 4

 

推导证明:
5. 方法一:
n2 = n×(n+1) – n
原式
= (1×2 – 1) + (2×3 – 2) + (3×4 – 3) + … + [n×(n+1) – n]
= 1×2 + 2×3 + 3×4 + … + n×(n + 1) – (1 + 2 + 3 + … + n)
利用上面第1个和第2个裂项公式的结果,
∴ 原式 = n (n + 1) (n + 2) / 3 – n (n + 1) / 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

 

方法二:

(n + 1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1
[(n + 1)3 – n3] + [n3 – (n – 1)3] + [(n – 1)3 – (n – 2)3] + … (23 – 1)
= 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + … + n) + n
= 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3[n(n + 1) / 2] + n       ……………………. ①
= (n + 1)3 – 1                                ……………………. ②

①×2, ②×2
2[(n + 1)3 – 1] = 6(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3[n(n + 1)] + 2n
 
 6(12 + 22 + 32 + … + n2)
= 2[(n + 1)3 – 1] – 3[n(n + 1)] – 2n
= 2n3 + 3n2 + n
= n(2n2 + 3n +1)
= n(n + 1)(2n + 1)

∴  (12 + 22 + 32 + … + n2) = n(n + 1)(2n + 1)/6

 

6. 与5类似

 
7.
 (n + 1)4 – n4 = [(n + 1)2 + n2] [(n + 1)2 – n2]
= (2n2 + 2n + 1)(2n + 1)
= 4n3 + 6n2 + 4n + 1

[(n + 1)4 – n4] + [n4 – (n – 1)4] + [(n – 1)4 – (n – 2)4] + … (24 – 1)
= 4(13 + 23 + 33 + … + n3) + 6(12 + 22 + 32 + … + n2) + 4(1 + 2 + 3 + … + n) + n
= (n + 1)4 – 1

 

利用第5式子的证明结果 (12 + 22 + 32 + … + n2) = n(n + 1)(2n + 1)/6
 

∴ 4(13 + 23 + 33 + … + n3)
= (n + 1)4 – 1 – 6(12 + 22 + 32 + … + n2) – 4(1 + 2 + 3 + … + n) – n
= (n + 1)4 – 1 – n(n + 1)(2n + 1) -2n(n + 1) – n
= (n + 1)(n + 1)3 – n(n + 1)(2n + 1) – 2n(n + 1) – (n + 1)
= (n + 1)[(n + 1)3 – n(2n +1 ) – (2n + 1)]
= (n + 1)[(n + 1)3 – (n + 1)(2n + 1)]
= (n + 1) 2 [(n + 1) 2 – (2n + 1)]
= n2 (n + 1) 2

∴  (13 + 23 + 33 + … + n3) = n2 (n + 1) 2 / 4 = (1 + 2 + 3 + … + n)2
 
 
上面给出的都是直接推导过程,如果只需要证明,可利用归纳法。

 

 

练习

1. 计算1×992 + 2×982 + 3×972 + 4×962 + … + 99×12

 

 

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