函数的定义 | 玄数

2012-01-28

1.  函数的初中定义

在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(Independent Variable),y是函数(Function)。如果当x = a 时y = b,那么b就叫做当自变量的值为a时的函数值。

function

 

 

2.   函数的高中定义

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f (x) 和它对应,那么就称f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作 y = f (x),x∈A

x称为自变量,它的取值范围A是函数的定义域(Domain);与x值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{ f (x) | x∈A } 叫做函数的值域(Range),值域是集合B的子集(有可能是真子集,但不一定)。

circle

圆的方程 x2 + y2 = r2  但x取 {x |  | x | ≤ r} 时,y都有正负两个值与之对应,并不是唯一的,所以上式y不是x的函数

 

 

3. 基本初等函数

一次函数、   二次函数、   反比例函数、   幂函数、   指数函数、   对数函数 、  三角函数

 

 

4.   函数的大学定义

设数集D⊂R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,记作:y = f (x),x∈D,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域。对每个x∈D,按照对应法则f,总有唯一确定的y值与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f (x) ,即y = f (x)。

因变量y与自变量x之间的这种依赖关系,通常称为函数关系。函数值f (x) 的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作Rf 或 f (D):Rf = f (D) = {y | y = f (x),x∈D }

记号f 和 f (x) 的区别:f 表示x与y的对应法则;f (x) 则是函数值。

 

 

5.   映射(Mapping)

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按照法则f,Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作 f:X→Y。

其中y称为元素x的像,并记作 f (x),即 y = f (x);元素x称为y的一个原像。集合X称为映射f的定义域,记作Df ,即 Df = X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作 Rf 或 f (X):Rf = f (X) = {y | y = f (x),x∈X }

(1)构成一个映射必须具备三个要素:

  • 集合X,即定义域 Df = X
  • 集合Y,即值域的范围:R⊆Y(子集,不一定Rf  = Y)
  • 对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y = f (x) 与之对应

(2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;但对每个y∈Rfy的原像不一定是唯一的

(3)满射(Surjective / Onto):R= Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,换言之,y总能找到原像,而且有可能找到 x1 ≠ x2,它们的像相同f (x1) = f (x2)。

(4)单射(Injective / Into):X中任意两个不同的元素x1 ≠ x2,它们的像f (x1) ≠ f (x2)。换言之,y的原像是唯一的,而且 R⊂Y,即有可能存在元素y找不到原像。
Bijective
Surjective_Injective

(5)双射 / 一一映射(Bijective):f即是单射又是满射。

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