函数的最值 | 玄数

2012-02-19

如果函数f(x) 在开区间 (a,b) 内连续,在左端点a右连续,在右端点b左连续,那么函数 f(x) 就在闭区间 [a,b] 上连续。

 

1.  最值

对于在区间I上有定义的函数 f(x),如果有x0∈I,使得对于任一x∈I 都有 f(x) ≤ f(x0),则称f(x0)是函数 f(x) 在区间I上的最大值Maximum);

如果使得对于任一x∈I 都有 f(x) ≥ f(x0),则称f(x0)是函数 f(x) 在区间I上的最小值Minimum)。

max min

 

2.  有界性与最大值最小值定理

在闭区间上连续的函数值该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

最大值最小值

有界性:如上图,如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,那么存在常数 M > 0,使得对于任一x∈[a,b],满足| f(x) | ≤ M。

最大值和最小值:至少存在一点ξ1,使 f(ξ1) 是f(x) 在 [a,b] 上的最小值;又至少有一点ξ2,使 f(ξ2) 是f(x) 在 [a,b] 上的最大值。

 
说明:首先必须是闭区间,如果函数的定义域为开区间,如 tanx 和 cotx,它们在定义域内是无界的,即无最大值,也无最小值。

无穷间断点

 

 

其次:连续,如下图的函数,在定义域内出现间断点,没有最值。

间断点

 

 

3.  零点定理

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,且 f(a) 与 f(b) 异号(即f(a)· f(b) <0),那么在开区间 (a,b) 内 至少有一点ξ 使f(ξ) = 0

零点定理,介值定理

 

4.  介值定理

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a) = A 及 f(b) = B,那么,对于A与B 之间的任意一个数C,在开区间 (a,b) 内 至少有一点ξ 使f(ξ) = C 

推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任意值。

 

 

练习:

1. 已知函数, x∈[1, +∞].
(1) 当a=1时, 求函数f(x)的最小值.
(2) 若对任意x∈[1, +∞], f(x)恒成立, 求实数a的取值范围.

 

 

English:

maximum, minimum

 

 

闭区间上连续函数的性质