几何三大问题(历史来源) | 玄数

2012-04-13

几何三大问题是:

1.  化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆

2.  三等分任意角

3.  倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍

 

 

这三个古老的几何作图问题,其历史可以追溯到相当久远的年代,看起来好像很简单,但真正做出来却很困难。不准有多少数学家和爱好者为其费了多少心思,然而最后证明它们都不可能用尺规作图法经有限步骤完成。

 

三大难题的来源与故事

1. 化圆为方

阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日、月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光。正是他出色的研究成果给他带来了不幸,在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦。灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头。由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱。

尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈、苦闷、无聊实在让人度日如年。在阴暗、潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内。每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想。有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢?

阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是。他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼。不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。

 

2. 三等分任意角

任意给定一个角,仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的,这就是说,二等分任意角是很容易做到的。于是,人们自然想到,任意给定一个角,仅用直尺和圆规将它三等分,想必也不会有多大困难。但是,尽管费了很大的气力,却没能把看来容易的事做成。于是,第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。

 

3. 倍立方

传说大约在公元前400年,古希腊的雅典流行疫病,为了消除灾难,人们向太阳神阿波罗求助,阿波罗提出要求,说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍,否则疫病会继续流行。起初,人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难,但经过多次努力还不能办到时,才感到事态的严重。人们百思不得其解,不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图,柏拉图经过慎重的思考,也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是:已知一个立方体,求作一个立方体,使它的体积是已知立方体的两倍。

古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法

 

漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

尺规作图

公元前五世纪的希腊数学家,已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规(以下简称尺规)来作图了。在他们看来,直线和圆是可以信赖的最基本的图形,而直尺和圆规是这两种图形的具体体现,因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏,自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战,是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。

古希腊三大几何问题既引人入胜,又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力,后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击,可是,这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单,似乎应该可以用尺规作图来完成,而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺,而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发,可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。

从表面看来,这三个问题都很简单,它们的作图似乎该是可能的,因此,2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法,例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法,解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是,所有这些方法,不是不符合尺规作图法,便是近似解答,都不能算作问题的解决。

其间,数学家还把问题作种种转化,发现了许多与三大难题密切相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?

历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机。

解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。

 

 

三大难题的意义

2000多年来,一代接一代地攻克三大难题,有人不禁要问这值得吗?假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方,只要行之有效,何苦一定用尺规作图法解决?其实,数学研究并非一定要实用,数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚,道个明白,这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是,对三大难题的研究,反过来促进了数学的发展,出现了新的数学思想和方法,例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法,勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题,等分圆周、作正多边形,高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利,使数学园地争奇竞艳,而且有利于科学技术的发展。

特别值得提到的是,在三大几何难题获得解决的同时,法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究,在1830年,19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法,从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础,它是许多实际问题的数学模型,应用极其广泛,而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以,一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论,可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的,直到1870年,伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。

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