几何三大问题(解决) | 玄数

2012-04-13

先重温《尺规作图和作图公法》里的一些规则:

作图公法

在初等几何里,约定无刻度的直尺和圆规这两件作图工具,具有如下三条功能:

(1) 通过两个已知点可作一条直线 (用直尺);

(2) 已知圆心和半径可作一个圆 (用圆规);

(3) 两条已知直线,或一已知直线和一已知圆,或两个已知圆,如其相交,可作出其交点(用直尺和圆规)。

 

几何作图的可能性

如果一个问题能用尺规作出,那么不论解法如何复杂,都是由两种手续陆续合成的,即

  1. 过两点作直线;
  2. 已知中心和半径作圆。

即尺规作图无非就是看:能否通过无刻度的直尺和圆规,经过有限次的步骤,求出题目所要求的一些特定的“点”!由这些“点”来确定相对位置的直线和具体长度的线段。对于几何三大问题中的“化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆”,我们假定一已知圆的半径是1,那它的面积就是π,那我们就是要求一条长π1/2的线段;而对于“三等分任意角”,则是要对任意角都能求出两个点,使它们分别和角点相连,得出两条直线;最后对 “倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍”的问题,假定元立方体的边长为1,无非是要求一条长倍立方的线段。

看看笛卡尔的解析几何是如何解释的,在坐标平面上,直线和圆分别表示为方程

  • Ax + By + C = 0
  • X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

如果某线段能用圆规和直尺做出来,那么这条线段的两端势必是直线与直线,或直线与圆,或圆和圆的交点。也就是说,它的坐标应由下面的方程组来决定:

直线交直线

  • A1x + B1y + C1 = 0
  • A2x + B2y + C2 = 0

 

直线交圆

  • Ax + By + C = 0
  • X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

圆交圆

  • X2 + Y2 + D1x + E1y+ F1=0
  • X2 + y2 ?+ D2x + E2y + F2= 0

上面方程组的解,都可以由系数经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。根号a是一层根式;

二层根式三层根式这类经过两次开平方得到的式子叫做二层根式;三层、四层根式… …也能与此类推。借助代数,我们对尺规作图问题更明朗化了。—— 凡能尺规做图的问题,必须是已知线段的有限层根式;反过来说,如果一条线段能表示为已知线段的有限层根式,那么它一定能由圆规和直尺作出。

 

1.   先看“倍立方”问题,倍立方不是有限层根式,所以不能用圆规和直尺作出。

 

2.   再看“化圆为方”:求一条长π1/2的线段。π1/2看样子有点像一层根式,其实不是,π本身不是有理数。那么π能不能用圆规和直尺作出呢?在1882年,德国数学家林德曼(Lindmann)发现并证明了π是一个“超越数”,也就是不能由某个有理系数的方程算出的数。从而,“化圆为方”是无法用尺规作图法作出的。

 

3.   最后看“角三等分”问题,此问题比上两个问题有点麻烦。把它转为代数问题,要用到一个三角公式:

cosA = 4 cos3– 3 cos (A/3)

令 cosA = a, cos (A/3) = x, 代入上式得

4x3 – 3x = a

题目中A是任意角,即 cosA = a是一个随意数,并不能使在任何情况下方程都有有限层根式解。当然,你

对可以对特殊角三等分。

(1)对180o角,以O为圆心,r为半径作一圆弧交直线于A,B两点,分别以A, B为圆心,r为半径作圆弧与半圆相交于M,N两点,连接OM,ON,得三等分角60o

此时A = 180o,cosA = a = –1,代入上述方程是 4x3 – 3x = –1,而x = cos (A/3) = cos60o = 1/2 就是方程的解。

(2)而对90 o角,以O为圆心,r为半径作一圆弧交两直角边于A, B两点,分别以A, B为圆心,r为半径作圆弧与已画圆弧相交于M, N两点,连接OM,ON,得三等分角30

此时A= 90 o,cosA = a = 0,代入上述方程是 4x3 – 3x = 0,而x = cos (A/3) = cos30 o = √3/2就是方程的解。

… …

从此我们可以看出可用尺规作图求15 o,30 o,45 o,60 o,75 o,120等角。

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